§ 4. Основные теоремы теории вероятностей п.1. Теоремы сложения вероятностей

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство.

Д окажем теорему для схемы случаев. Пусть всевозможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые можно наглядно изобразить в виде n точек, из них m случаев благоприятствуют событию А, и k случаев благоприятствуют событию В. Тогда по определению вероятности , , так как А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны А и В вместе. Следовательно, событию (А + В) благоприятны (m + k) случаев и . То есть + , что и треб. доказать.

Теорема 1^/ (Обобщенная теорема сложения несовместных событий) Вероятность суммы n несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: .

Доказательство (методом математической индукции).

Предположим, что теорема справедлива для (n-1) несовместного события: А₁, А₂,…, А_n-1, т.е. справедливо равенство: Р(А₁+ А₂+…+А_n-1)=Р(А₁)+Р(А₁₎ +…+ Р(А_n-1) . Докажем, что теорема будет справедлива для n несовместных событий.

Обозначим А₁ + А₂ +…+А_n-1 = С.

Имеем Р(А₁ + А₂+…+ А_n-1 + А_n) = Р(С + А_n) = (по теореме 1) = Р(С)+Р(А_n) = (а для (n-1) несовместного события теорема доказана) = Р(А₁)+Р(А₂) +…+ Р(А_n-1)+ Р(А_n). (что и треб. доказать)

Следствие 1. Если события А₁, А₂,…, А_n-1, А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: .

Доказательство.

Т.к. события А₁, А₂,…, А_n-1, А_n образуют полную группу несовместных событий, то, по определению, появление хотя бы одного из них – достоверное событие:

= Р(А₁ + А₂ +…+А_n-1+ А_n ) = 1.

Т.к. события несовместные, то к ним применима обобщенная теорема сложения:

Р(А₁ + А₂ +…+А_n-1+ А_n )=Р(А₁)+Р(А₂) +…+ Р(А_n-1)+ Р(А_n) = =1, (что и треб. доказать).

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Доказательство.

События – противоположные, т.е. по определению образуют полную группу несовместных событий, тогда по следствию 1, .

Замечание. Следствие 2 – частный случай следствия 1. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события, чем прямого.

.

В формулировке таких задач встречаются слова «хотя бы», «не менее», «по крайней мере» и др.

Пример. Из колоды карт (36) наудачу вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

Решение.

1 способ (по теореме ).

Событие А = {из 3 карт окажется хотя бы один туз}.

Хотя бы один – это либо один, либо два, либо три, т.е. событие А может быть представлено в виде суммы трех событий: А₁ = {из 3 карт окажется один туз}, А₂ = {из 3 карт окажется два туза}, А₃ = {из 3 карт окажется три туза}.

А = А₁ + А₂ +А_3.

Т.к. события несовместны, то по теореме : Р(А) = Р(А₁+ А₂+А₃)=Р(А₁)+Р(А₂) +Р(А₃).

Найдем отдельно вероятности событий.

, , .

Р(А) + 0,0269 + 0,0006 = 0,3053.

2 способ (по следствию 2).

Событие = {из 3 вынутых карт не окажется ни одного туза}.

.

.

Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения (совместного осуществления): Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(АВ).