§ 3. Различные подходы к определению вероятности

Каждое из событий обладает какой-то степенью возможности: одни – большей, другие – меньшей, третьи – невозможны вообще. Чтобы количественно сравнить событие по степени их возможности, с каждым событием свяжем определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число и называется вероятностью.

Определение 17. Вероятность события – есть численная мера степени объективной возможности этого события.

Обозначение - Р(А).

Существует три различных подхода к определению вероятности, и, как следствие, три различных определения: 1) аксиоматическое, 2) классическое, 3) статистическое.

П. 1. Аксиоматическое определение вероятности

Данное определение дано на основе аксиом вероятности. Аксиоматическая теория вероятности создана русским ученым А.Н.Колмогоровым в 1933 году.

Пусть F – система событий для данного эксперимента. Каждому событию поставим в соответствие некоторое неотрицательное число Р(А) – специальную числовую функцию для количественного описания степени объективной возможности наступления того или иного наблюдаемого в эксперименте события.

Определение 18. Вероятностью события А называется числовая функция Р(А), определенная для всех и удовлетворяющая трем аксиомам вероятностей:

1 аксиома: - вероятность достоверного события. (Принята в качестве единицы измерения; если вероятность достоверного события равна 1, то другие события, возможные, будут характеризоваться вероятностями меньшими 1, а вероятность невозможного события =0).

2 аксиома: .

Следствие: .

3 аксиома: если события А₁, А₂,…, А_n попарно несовместны, то есть при , то Р(А₁ + А₂ +…+ А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) +…+ Р(А_n) или

Следствия из аксиом.

1. - вероятность противоположного события.

2. Если А влечет за собой В, то есть , то .

3. Если А₁, А₂,…, А_n - произвольные события, то

А.Н.Колмогоров исходил из того, что события – это множества, и вероятность также является функцией множества.

Аксиомы позволяют вычислить вероятность любых событий с помощью вероятностей элементарных событий, которые определяются либо из соображений, связанных с симметрией опыта или же на основе опытных данных (частоте появления события).

Система аксиом непротиворечива, так как существуют реальные объекты, которые всем аксиомам удовлетворяют. Но система аксиом неполна: даже для одного и того же множества Ω вероятности в множестве F можно выбирать различными способами.

П. 2. Классическое определение вероятности

Это определение сводит понятие вероятности к понятию равновероятности или равновозможности событий.

Пусть исходы опыта равноправны по отношению к условиям опыта, то есть эти исходы или события равновозможны или равновероятны, и соответствующее опыту множество Ω - множество равновероятных исходов. Такой опыт называется классической схемой или схемой урн.

В этой схеме вероятность события А можно оценить по относительной доле благоприятных случаев.

Пусть множество всех элементарных исходов опыта Ω = { ω₁, ω₂,…, ω_n }.

Пусть А = { ω₁, ω₂,…, ω_m } - событие или исход в эксперименте.

Обозначим число всех исходов эксперимента (или число событий множества Ω); число всех благоприятствующих событию А исходов (или число элементов множества А)

Определение 19. Вероятность события А – доля тех исходов, в результате которых это событие осуществляется:

формула классической вероятности.

Пример. В урне находится 2 белых и 3 синих шара. Из урны наугад вынимается 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар – белый.