Решение.

По условию задачи, центр иглы может лежать между параллельными прямыми или на одной из прямых. То есть игла может выглядывать из-за прямой ровно наполовину.

х – расстояние от центра иглы до ближайшей параллели, φ – угол, составленный иглой с параллелью (рис. 1). Причем . (*)

Величины х и φ полностью определяют положение иглы.

φ

Середина иглы С – точка пересечения иглы с пунктирной линией.

х

С

Всевозможные положения середины иглы определяются точками

2а

прямоугольника со сторонами а и π (рис. 2). Это следует из (*).

2l

Из рисунка 1 видно, что для пересечения иглы с параллелью

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

Рис. 1 .

х

а

х=lsinφ

Пусть событие А = {пересечение иглы и параллели}.

Вероятность пересечения иглы и параллели равна отношению

φ

π

О

площади фигуры под синусоидой (рис. 2) к площади прямоугольника:

Рис. 2

.

Замечание. Существует ряд задач на геометрическую вероятность, в которых результат зависит от метода решения. Одна из таких задач – парадокс Бертрана: найти вероятность того, что длина наудачу взятой хорды в круге превосходит длину стороны вписанного в этот круг равностороннего треугольника. В условии задачи не определено понятие проведения хорды наудачу, что и привело к 3-м различным решениям.

П. 3. Статистическое определение вероятности

Определение вероятности, отправляющееся от частоты появления события в большом количестве испытаний.

Не всякий опыт может быть сведен к схеме случаев. Например, вероятность выпадения определенной грани у неправильной несимметричной игральной кости не будет равна , то есть исходы не равновозможны (нельзя применить классическую теорию вероятностей). Но все же выпадение этой грани обладает некоторой вероятностью, указывающей, насколько часто в среднем должна появляться данная грань при многократном бросании. Примеры подобных случаев: 1) выход из строя радиолампы в течение одного часа работы, 2) попадание в цель при выстреле, 3) пробивание брони танка осколком снаряда.

Каждое из перечисленных событий обладает определенной степенью объективной возможности, которую можно измерить численно и которая при повторении подобных опытов будет отражаться в относительной частоте соответствующих событий.

Пусть опыт может быть воспроизведен многократно, в каждом из которых по воле случая происходит или не происходит событие А. Обозначим за

n – число всех опытов в серии одинаковых и независимых друг от друга испытаний,

m – число опытов, в которых осуществляется событие А.

Определение 20. Отношение называется частотой события А в данной серии одинаковых и независимых друг от друга опытов.

При небольшом числе опытов частота события носит случайный характер и может заметно изменяться. Если количество опытов бесконечно много, то применима теорема Бернулли.

Теорема Бернулли (закон больших чисел). При неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать, что частота события будет сколь угодно мало отличаться от некоторого постоянного значения – вероятности события в отдельном опыте: .

Если , то формула статистической вероятности.

Частоты удовлетворяют всем аксиомам Колмогорова.

Примеры.

1. Устойчивость частот доказана на явлениях демографического характера: а) в древнем Китае за 2238 лет до нашей эры было посчитано, что отношение числа рождений мальчиков к числу всех рождений равно , б) в настоящее время это цифра равна .

2. Устойчивость частот доказана на примере бросания монеты:

Фамилия бросавшего ученого	Число бросаний	Частота выпадения орла
Бюффон	4040	0,5080
Пирсон К.	12000	0,5016
Пирсон К.	24000	0,5005