Доказательство.

Рассмотрим три события: , , , причем события В и С – несовместные.

Очевидно, что А = В + С. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

.

Перепишем данное равенство, воспользовавшись определением функции распределения:

, отсюда:

. (что и требовалось доказать)

Замечание. Если F(x) возрастает в каждой точке интервала (a; b), то возможные значения случайной величины непрерывно заполняют этот интервал, т.к. согласно свойству № 6, вероятность того, что СВ примет значение, заключенное в сколь угодно малой части этого интервала отлична от нуля. Таким образом, монотонно возрастающей функции F(x) на интервале (a; b) соответствует непрерывная случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют этот интервал. Отсюда следует другое определение НСВ:

Определение 35. Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, функция распределения которой непрерывна.

Будем неограниченно уменьшать участок [α; β), полагая, что . В пределе вместо вероятности попадания случайной величины Х в интервал [α; β) получим вероятность того, что эта величина примет отдельно взятое значение α:

(из свойства 6)

Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция F(x) в точке х = α или же терпит разрыв.

Если в точке х = α функция F(x) имеет разрыв, то – значению скачка в точке в х = α.

Если в точке х = α функция F(x) непрерывна, то .

Вывод: т.к. непрерывная случайная величина Х имеет непрерывную функцию распределения F(x), то из равенства нулю предела для непрерывной функции в точке х = α следует, что и вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю:

.

Таким образом, нулевой вероятностью могут обладать не только невозможные, но и возможные события, т.е. событие – возможно, а Р(А) = 0. , но – не достоверно. Говорят, что А происходит почти всегда.

Вывод парадоксален, но он вполне согласуется со статистическим определением вероятности. Равенство нулю вероятности события характеризует тенденцию частоты этого события неограниченно убывать при увеличении числа опытов, т.е. частота только приближается к вероятности, и ни в коей мере не означает, что данное событие равно нулю.

Например: 1.) Тело имеет определенную массу, а ни одна из точек внутри тела определенной массой не обладает. Сколь угодно малый объем, выделенный из тела, обладает конечной массой, но она стремится к нулю по мере его уменьшения и равна нулю для точки. 2.) При непрерывном распределении вероятностей вероятность попадания на сколь угодно малый участок может быть отлична от нуля, тогда как вероятность попадания в строго определенную точку равна нулю.

Механическая интерпретация непрерывной случайной величины: распределение единичной массы непрерывно по оси абсцисс, причем ни одна точка не обладает конечной массой.

Следствия из свойства 6:

1. Если все возможные значения Х принимает интервал (a; b), F(x) = 0 при ; F(x) = 1 при .

2. , т.е для НСВ граничные точки могут как включаться, так и не включаться в промежуток (а; b).