Примеры на построение множества ω.

Задание. Построить множество элементарных событий Ω опыта и заданное множество А.

Пример 1. Опыт состоит в однократном подбрасывании монеты. Событие А = {выпадение орла}.

Решение. Элементарные исходы: ω₁ ={выпадение орла}, ω₂ ={выпадение решки}. Множество элементарных событий опыта Ω = {ω₁, ω₂}. Событие А = {ω₁}.

Пример 2. Опыт состоит в троекратном подбрасывании монеты. Событие А = {не более одного раза выпала решка}.

Решение. Обозначим О – выпадение орла, Р – выпадение решки. Элементарные исходы опыта: ω₁ ={ООО}, ω₂ ={ООР}, ω₃ ={ОРО}, ω₄ ={РОО}, ω₅ ={РОР}, ω₆ ={ОРР}, ω₇ ={РРО}, ω₈ ={РРР}. Множество элементарных событий опыта Ω = {ω₁, ω₂, ω₃, ω₄, ω₅, ω₆, ω₇, ω₈}. Событие А = {ω₁, ω₂, ω₃, ω₄}.

Пример 3. Опыт состоит в стрельбе по плоской мишени. Событие А = {попадание в определенную точку}.

Решение. Введем в плоскости мишени прямоугольную декартовую систему координат. Каждому исходу – попаданию в определенную точку - поставим в соответствие координаты (х, у) точки. Тогда множество элементарных событий опыта , событие А = {(х₁, у₁)}.

Пример 4. Опыт состоит в оценивании студентов на экзамене. Событие А = {студент сдал экзамен}.

Решение. Множество элементарных событий Ω = {2, 3, 4, 5}. Событие А = {3, 4, 5}.

Пример 5. Опыт состоит в работе телефонной станции. Событие А = {поступило 3 звонка}.

Решение. Множество все элементарных событий

Алгебраические операции над событиями

Так как события отождествляются с множествами, то над событиями можно совершать все операции, выполняемые над множествами.

Множества	События
Множество А является подмножеством множества В:	Событие А влечет за собой событие В, то есть В происходит всякий раз, как происходит А. Обозначение:
Множества А и В эквивалентны:	Событие А тождественно или равносильно событию В. Это возможно тогда и только тогда, когда и (оба наступают или нет). Обозначение: А = В
Объединение множеств:	Сумма событий, то есть событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них. Обозначение: А + В (знак«+» - логическое «или»)
Пересечение множеств:	Произведение событий, то есть событие, состоящее в совместном наступлении обоих событий А и В. Обозначение: ( знак « » - логическое «и»)
Разность множеств:	Разность событий, то есть событие, состоящее в том, что А произошло, а В нет. Обозначение: .
Дополнение множества А до множества Ω:	Противоположное событие, то есть событие А не происходит. Обозначение: , где .

Примеры.

1. Диаграмма Венна.

В нутри квадрата, в котором две пересекающихся окружности разных радиусов, выбирается наудачу точка.

Событие А = {точка лежит внутри левой окружности}, В = {точка лежит внутри правой окружности}.

Изобразить с помощью диаграмм Венна основные алгебраические операции над событиями.

Решение.

А В

А + В

2. Опыт состоит в двукратной стрельбе по мишени. События: А = {попадание при первом выстреле}, В = {попадание при втором выстреле}. Записать в алгебре событий следующие события:

1) С = {попадание при обоих выстрелах}. Решение: С = ,

2) С₁ = {попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле или обоих вместе}. Решение: С₁ = А + В.

3) D₁ = {промах при первом выстреле}. Решение: D₁ = .

4) D₂ = {промах при втором выстреле}. Решение: D₂ = .

5) Е = {в результате двух выстрелов будет ровно одно попадание}. Решение: Е = .

6) H = {все промахи}. Решение: Н = .

3. Опыт состоит в вынимании карт из колоды. События: А = {появление карты червонной масти}, В = {появление карты бубновой масти}. Записать в алгебре событий событие С ={появление карты красной масти}.

Решение. С = А + В.