- •Теория вероятностей
- •§ 1. Предмет теории вероятностей
- •§ 2. Случайные события или исходы. Множество элементарных событий. Основные понятия
- •Примеры на построение множества ω.
- •Алгебраические операции над событиями
- •Диаграмма Венна.
- •Свойства операций
- •§ 3. Различные подходы к определению вероятности
- •П. 1. Аксиоматическое определение вероятности
- •П. 2. Классическое определение вероятности
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп. 1. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп. 2. Геометрические вероятности в классической схеме
- •Решение.
- •П. 3. Статистическое определение вероятности
- •§ 4. Основные теоремы теории вероятностей п.1. Теоремы сложения вероятностей
- •Доказательство.
- •Доказательство (методом математической индукции).
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Решение.
- •Д оказательство (геометрическое)
- •П.2. Теоремы умножения вероятностей
- •Доказательство.
- •Решение.
- •Решение.
- •§ 5. Формулы полной вероятности и формула Байеса п. 1. Формула полной вероятности (следствие обеих основных теорем сложения и умножения)
- •Решение.
- •П. 2. Формула Байеса (Бейеса) (следствие теоремы умножения и формулы полной вероятности)
- •Решение.
- •§ 6. Последовательность независимых испытаний п. 1. Независимые испытания
- •П. 2. Формулы Бернулли.
- •Решение.
- •Решение.
- •Замечания.
- •Решение.
- •П. 3. Предельные теоремы в схеме Бернулли
- •Решение.
- •Решение.
- •Доказательство.
- •Решение.
- •П. 4. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях
- •Решение.
- •§ 7. Случайные величины п. 1. Основные определения
- •П. 2. Законы распределения случайных величин. Законы распределения дискретных случайных величин. Функция распределения
- •Формы закона распределения дсв.
- •Решение.
- •Решение.
- •3. Функция распределения – универсальный закон распределения (для дсв и нсв).
- •Свойства f(X).
- •Доказательство.
- •Графики функции распределения.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Плотность распределения вероятностей нсв
- •Свойства плотности распределения
- •2. Условие нормировки: интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен 1: . (4) Доказательство
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Числовые характеристики случайных величин, их роль и назначение
- •Пп 1. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана)
- •1. Математическое ожидание или среднее значение случайной величины
- •2. Мода случайной величины
- •3. Медиана случайной величины
- •Пп 2. Моменты
- •Доказательство.
- •И эксцесс
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин: биномиальный, Пуассона, гипергеометрический. Пп 1. Биномиальное распределение
- •Решение.
- •Пп 2. Распределение Пуассона
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп 3. Гипергеометрическое распределение
- •Решение.
- •П. 6. Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин: равномерный, показательный, нормальный Пп 1. Равномерное распределение или закон равномерной плотности
- •Решение.
- •Пп 2. Показательное или экспоненциальное распределение
- •Решение.
- •Пп 3. Нормальный закон распределения
- •Смысл параметров m и σ
- •Решение.
- •§ 8. Системы случайных величин или случайные векторы п. 1. Основные понятия.
- •П. 2. Законы распределения свдт и свнт
- •Закон. Таблица распределения – закон распределения свдт.
- •Решение.
- •Решение.
- •Закон. Функция распределения – закон распределения свдт и свнт.
- •Решение.
- •3. Плотность распределения (для свнт)
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему. Равномерное и нормальное распределения. Условные законы распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Числовые характеристики системы. Корреляция. Линии регрессии
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •§ 9. Закон больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей
Доказательство.
Докажем для схемы урн истинность тождества формулы.
Пусть всевозможные исходы опыта сводятся к n случаям, которые изобразим в виде точек:
П усть событию А благоприятствует m случаев, событию В – k случаев, а т.к. события А и В совместны (мы не предполагали их несовместность), то событиям А и В одновременно благоприятствует l случаев.
Тогда, вероятности данных событий равны: , .
Вычислим условную вероятность , т.е. условную вероятность события В в предположении, что А имело место. Если известно, что А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те, которые благоприятствовали событию А. Из них l случаев благоприятны событию В, следовательно, , т.е.
– истинно, т.к. – истинное тождество. (что и треб. доказать).
Замечание 1. При применении теоремы вполне безразлично, какое из событий А или В считать первым, а какое вторым, т.е. теорему можно записать в виде:
Замечание 2. В общем случае при Р(А) > 0, Р(В) > 0 условная вероятность выражается формулой: , .
Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.
Замечание 3. Зависимость и независимость событий всегда взаимны.
Замечание 4. Условные вероятности обладают всеми свойствами, присущими обычным вероятностям:
1. ,
2. если наступление события В исключает возможность осуществления А, т.е. , то
, если событие В ведет к обязательному осуществлению А, т.е. , то .
3. Если Ak – несовместные события, т.е. А = А1 + А2 +…+Аn, то .
4. .
Замечание 5. Если А и В независимы, то независимы также события А и , и В, и .
Теорема 3/. ( Обобщенная теорема умножения зависимых событий).
Вероятность произведения нескольких зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:
Р(А1 ∙ А2 ∙ А3 ∙….∙Аn) = Р(А1)∙ ∙ ∙…∙ .
Теорема 4. (теорема умножения независимых событий).
Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: .
Теорема 4/. ( Обобщенная теорема умножения независимых событий).
Вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Р(А1 ∙ А2 ∙ А3 ∙….∙Аn) = Р(А1)∙ ∙ ∙…∙ .
Пример 1. Из колоды карт последовательно вынуты две карты. Найти: а) вероятность того, что вторая карта окажется тузом (неизвестно, какая карта была вынута вначале), б) вероятность того, что вторая карта будет тузом, если первоначально тоже был вынут туз.
Решение.
Обозначим А = {появление туза вторым}, В = {появление туза первым}.
а) , где = {появление первым не туза}.
События и – несовместны, тогда по теореме 1 следует, что
(события А и В, А и – зависимые, применим теорему 3) = .
б) Если вынутая первая карта – туз , то в колоде осталось 35 карт и среди них только три туза, следовательно, .
Или можно было найти эту вероятность, используя формулу условной вероятности:
.
Пример 2. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что а) оба белые, б) оба белые, если после первого вынимания шар возвращают обратно в урну, и шары перемешиваются.
Решение.
Обозначим: А = {появление двух белых шаров}, В = {появление белого шара при первом вынимании}, С = {появление белого шара при втором вынимании}.
а) А = В∙С. События В и С – зависимы, тогда по теореме 3 следует, что
.
б) А = В∙С. События В и С – независимы, тогда по теореме 4 следует, что
.
Теорема 5. Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А1, А2, А3,…, Аn , независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий:
.
Если все , то .
Пример. Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно р1 = 0,4; р2 = 0,5; р3 = 0,7. Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будет хотя бы одна пробоина.