Решение.

Количество испытаний n = 243, количество успехов m = 70, вероятность успеха р = 0,25, вероятность неудачи q = 1 – 0,25 = 0,75.

По формуле Бернулли считать сложно. Так как n и m велики, поэтому применим формулу Муавра - Лапласа.

Найдем сначала x и f(x):

, тогда .

Можно было не считать значение f(1,37) напрямую, а обратиться к таблице в учебнике.

Подставим найденное значение f(1,37) в формулу:

P₂₄₃(70) = .

3. Предельная интегральная теорема Муавра - Лапласа (асимптотическая формула для случая, когда число успехов m лежит в некоторых пределах)

Теорема 1. Если m – число наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна р (0 < p < 1), то равномерно относительно a и b ( ) при имеет место соотношение:

.

В некоторых источниках или .

Ранее вывели, что . Численное значение нашего интеграла можно найти с помощью таблиц (стр. 406 в задачнике Ефимова – Демидовича) для функции Лапласа Ф(x):

, где Ф(–x) = 1 – Ф(x). Для тех значений x, которых нет в таблице, т.е для , Ф(x) = 1.

Либо, функция Лапласа может быть в виде: , где Ф(–x) = – Ф(x), для тех значений x, которых нет в таблице, т.е. для , Ф(x) = .

Теорема 2. (Теорема Муавра-Лапласа) Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < p < 1), событие А наступит не менее m₁ раза и не более m₂ раз приближенно равна:

,

где Ф(x) – функция Лапласа, значения , .

Теорема 3. (Закон больших чисел или теорема Бернулли).

При неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов частота события будет сколь угодно мало отличаться от вероятности события в отдельном опыте.

Иначе, вероятность того, что отклонение относительной частоты наступления события А ( ) от постоянной вероятности события А (р) очень мало при стремится к 1.

Доказательство.

(разделим все части неравенства на положительное число ) = (по теор. 1)

.

Пример. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появиться не менее 75 раз и не более 90 раз.

Решение.

Количество испытаний n = 100, вероятность успеха р = 0,8, вероятность неудачи q = 1 – 0,8 = 0,2 , m₁ = 75, m₂ = 90.

Найдем :

, .

По теореме 2:

(по таблице для функции Лапласа) = 0,9938 – 1+0,8944 = 0,8882.

П. 4. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях

Определение 28. Число наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, называется наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях раз превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число определяется из двойного неравенства:

,

причем 1) если дробное, то существует одно , 2) если целое, то существует два наивероятнейших числа, 3) если целое, то .

Пример. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание и вероятность этого числа.