Решение.

Общее число исходов опыта – число всех 4-ех буквенных слов в данном опыте, а именно: .

Событие А = {наудачу составленное слово из 4-х букв оканчивается на букву «а»}. Место буквы «а» - четвертое, оно занято, то есть число элементов множества А равно числу способов разместить на 3 оставшиеся первые места по одной букве из оставшихся 9. Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию А, равно

Тогда вероятность события А равна

Пример 2. Из ящика, содержащего 10 перенумерованных изделий, наугад вынимают одно за другим все находящиеся в нем изделия. Найти вероятность того, что номера вынутых изделий будут идти по порядку: 1, 2,…, 10.

Решение.

Общее число исходов опыта – вариантов расставить 10 изделий на 10 мест- равно перестановке

Число исходов, благоприятствующих событию В = {номера вынутых изделий будут идти по порядку}, равно

Тогда вероятность события В равна

Пример 3 (на 1 и 2 схему). Из колоды из 36 карт вытащили наудачу 3 карты. Какова вероятность того, что они все будут тузы а) без учета порядка, б) с учетом порядка?

Решение.

а) Событие А = {вытащили 3 туза без учета порядка}. Общее число исходов опыта равно n = Число исходов, благоприятствующих событию А, равно Вероятность события

б) Событие В = {вытащили 3 туза с учетом порядка}. Общее число исходов опыта равно n = Число исходов, благоприятствующих событию В, равно Вероятность события

3. Схема выбора, приводящая к сочетаниям с повторениями

Пусть опыт состоит в выборке m неразличимых элементов из n наудачу с возвращением, но без последующего упорядочивания. Различными исходами опыта будут всевозможные m – элементные наборы, отличающиеся составом. При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Например, если m =4, то наборы ω₁ = {l₁, l₂, l₁, l₁} и ω₂ = {l₂, l₁, l₁, l₁} для эксперимента неразличимы, а набор ω₃ = {l₁, l₃, l₁, l₁}- отличен от предыдущих.

Комбинации, получающиеся в результате опыта, называются сочетаниями с повторениями. Их общее число определяется по комбинаторной формуле .

Пример. В библиотеке имеются книги по 16 разделам науки. Поступили 4 заказа на литературу. Считая, что любой состав литературы равновозможен, найти вероятности событий: а) А = {заказаны книги из разных разделов науки}, б) В = {заказаны книги из одного и того же раздела}.

Решение.

Число всех исходов равно числу сочетаний с повторениями из 16 элементов по 4: .

а) Число исходов, благоприятствующих событию А, равно числу способов отобрать без возвращения 4 элемента из 16: Тогда вероятность события А равна

б) Число исходов, благоприятствующих событию В, равно числу способов отобрать без возвращения 1 элемент из 16: Тогда вероятность события В равна

4. Схема выбора, приводящая к размещениям с повторениями

Пусть опыт состоит в выборке m элементов из n наудачу с возвращением и с упорядочиванием их в последовательную цепочку. Различными исходами будут всевозможные m – элементные наборы с повторениями, отличающиеся либо составом элементов, либо порядком их следования. Например, если m =4, то наборы ω₁ = {l₁, l₂, l₁, l₁} и ω₂ = {l₂, l₁, l₁, l₁} для эксперимента различимы. На одно место может претендовать несколько элементов.

Получаемые комбинации называются размещениями с повторениями. Их общее число определяется по комбинаторной формуле .

Замечание.

а) Эту схему называют размещением по ячейкам: m различных элементов размещаются по n различным ячейкам.

б) Если в ячейку с номером i попадают ровно m_i элементов, где i = 1, 2,…, n; m₁ + m₂ +… +m_n = m, то число всех размещений равно .

в) Бывают комбинации элементов из различных групп. Пусть имеется m групп элементов. Первая группа содержит n₁ различных элементов, вторая - n₂ элементов, …., последняя m-ая - n_m элементов. Составляются комбинации из m элементов таким образом, что в каждую комбинацию входит лишь по одному элементу из каждой группы. Число всех комбинаций такого типа равно .

Пример 1. Из ящика, содержащего 10 перенумерованных изделий, наугад вынимают одно за другим все находящиеся в нем изделия, записывают его номер, а затем выкладывают обратно и перемешивают с другими. Найти вероятность того, что записанные номера будут идти по порядку.