Решение.
ДСВ Х – число выбитых очков. Вероятность попадания (успеха) равна р = 0,4, вероятность промаха (неудачи) равна q = 1 – 0,4 = 0,6. Количество испытаний n = 3.
Возможные значения Х: х1 = 0 (0 очков), х2 = 1 (5 очков), х3 = 2 (10 очков), х4 = 3 (15 очков).
По формуле Бернулли Pn(m)
=
найдем вероятности этих возможных
значений:
р1 =P3(0)
=
,
р2 =P3(1)
=
,
р3 =P3(2)
=
,
р4 =P3(3)
=
.
Ряд распределения имеет вид:
xi |
0 |
1 (5) |
2 (10) |
3 (15) |
pi |
0,216 |
0,432 |
0,288 |
0,064 |
Проверка:
.
Многоугольник распределения:
Замечание. Ряд распределения является удобной формой представления закона распределения для ДСВ с конечным числом возможных значений. Однако эта характеристика не универсальна, так как ряд или многоугольник нельзя построить для непрерывной случайной величины (НСВ). Действительно, НСВ имеет бесчисленное множество возможных значений, которые сплошь заполняют некоторый промежуток, и перечислить их в какой-нибудь таблице нельзя.
Кроме того (это будет доказано позднее) каждое отдельное значение НСВ обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью. Следовательно, для НСВ не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для ДСВ.
Однако различные области возможных значений НСВ все же не являются одинаково вероятными, и для НСВ существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для ДСВ.
В силу этого, желательно иметь такую характеристику распределения вероятностей, которая была бы применима для самых разнообразных случайных величин.
3. Функция распределения – универсальный закон распределения (для дсв и нсв).
Для количественной характеристики распределения вероятностей любой случайной величины удобнее пользоваться не вероятностью события X = х, а вероятностью X < х, где х – некоторая текущая переменная.
Определение 34. Задание вероятности выполнения неравенства X < х , рассматриваемой как функции аргумента х, называется функцией распределения (или интегральным законом распределения, или интегральной функцией распределения) случайной величины Х:
F(x) = P(X < x).
F(x) – универсальная характеристика: существует как для ДСВ, так и для НСВ. Она полностью характеризует СВ с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.
Геометрическая интерпретация F(x): если рассматривать СВ как случайную точку Х оси (Ох), которая в результате опыта может занять то или иное положение, то функция распределения F(x) есть вероятность того, что эта случайная точка Х в результате опыта попадет левее точки х.
Для ДСВ Х, которая может принимать возможные значения x1, x2, x3,…, xn, функция распределения будет иметь вид:
F(x)
= P(X
< x) =
,
где символ хi < x под знаком суммы обозначает, что суммирование распространяется на все возможные значения СВ, которые по своей величине меньше аргумента х.
Свойства f(X).
1. F(x)
– неотрицательная функция, заключенная
между 0 и 1:
.
Пояснение: справедливость свойства вытекает из того, что F(x) определена как вероятность события X < x.
2. F(x)
– неубывающая функция своего аргумента,
т.е. при x2 > x1,
.
Пояснение (см. рис. выше): будем увеличивать х, т.е. перемещать точку х вправо по оси (Ох). Очевидно, что при этом вероятность того, что точка Х попадет левее точки х не может уменьшаться, следовательно, функция F(x) с возрастанием х убывать не может.
3.
.
Пояснение (см. рис. выше): будем неограниченно перемещать точку х влево по оси (Ох). При этом попадание случайной точки Х левее точки х в пределе становится невозможным событием. Поэтому естественно полагать, что вероятность этого события стремится к нулю.
4.
.
Пояснение (см. рис. выше): будем неограниченно перемещать точку х вправо по оси (Ох). При этом попадание случайной точки Х левее точки х в пределе становится достоверным событием. Вероятность достоверного события по определению равна 1.
5. F(x)
– непрерывна слева, т.е.
.
6. Вероятность появления случайной величины в интервале [α; β) равна разности значений функции распределения в концах интервала:
.