Решение.

X (четные) – 2, 4, 6, 8; Y ( нечетные) – 1, 3, 9. Следовательно, возможные значения Х : x₁ = 0 (нет четных цифр), x₂ = 1 (одна цифра четная), x₃ = 2 (обе цифры четные); возможные значения Y : y₁ = 0 (нет нечетных цифр), y₂ = 1 (одна цифра нечетная), y₃ = 2 (обе цифры нечетные). Найдем вероятности.

p₁₁ = (0 четных, 0 нечетных) = 0, не выбираем ни одной цифры, а по условию выбираем две цифры. Аналогично, p₁₂ = p₂₁ = 0 (выбираем всего одну цифру либо нечетную, либо четную), p₂₃ = p₃₂ = 0 (выбираем три цифры вместо двух по условию), p₃₃ = 0 (выбираем четыре цифры вместо двух по условию).

(обе цифры нечетные),

(одна четная, одна нечетная),

(обе цифры четные).

Таблица распределения имеет вид:

xi \ yj	y1 = 0	y2 = 1	y3 = 2
x1 = 0	p11 = 0	p12 = 0	p13 =
x2 = 1	p21 = 0	p22 =	p23 = 0
х3 = 2	р31 =	р32 = 0	р33 = 0

Проверка:

Пример 2. Дана таблица распределения случайного вектора (X, Y). Получить ряды распределения для X и Y отдельно.

xi \ yj	2	3	5
1			0
2	0	0

Решение.

, (складываем по строкам), следовательно,

xi	1	2
pi

Проверка: .

, (складываем по столбцам), следовательно,

yj	2	3	5
pj

Проверка: .

2. Закон. Функция распределения – закон распределения свдт и свнт.

Функция распределения – универсальный закон распределения случайных векторов как дискретного, так и непрерывного типа.

Определение 61. Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F(x,y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств: X < x, Y < y, т.е.

F (x,y) = Р(X < x, Y < y).

Геометрически F(x,y) представляет вероятность попадания случайной точки (X, Y) в левый нижний бесконечный квадрант плоскости с вершиной в точке (x,y).

F(x,y) = – для СВДТ

Свойства F(x, y).

1. Условие согласованности:

F(x, +∞) = F₁(x), F(+∞, y) = F₂(y)

Пояснение. Отодвигая одну из границ квадранта в бесконечность, получаем полуплоскость, вероятность попадания в которую есть функция распределения одной случайной величины.

2. F(+∞, +∞) = 1

Пояснение. Квадрант обращается во всю координатную плоскость, попадание случайной точки в которую есть достоверное событие.

3. F(–∞, y) = F(х, –∞) = F(–∞, –∞) = 0

Пояснение. Отодвигая ту или иную границу квадранта в (–∞), убеждаемся, что вероятность случайной точки попасть в квадрант равна нулю.

4. F(x, y) – неубывающая функция по каждому аргументу.

если х₂ > x₁, если y₂ > y₁.

5. Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:

Определение 62. (второе определение) Двумерный случайный вектор называется случайным вектором непрерывного типа (СВНТ), если его функция распределения непрерывна на всей плоскости и существует неотрицательная и интегрируемая по Риману в бесконечных пределах по x, y функция f(x, y), называемая плотностью распределения СВНТ.

Пример 3. В примере № 1 п.2 найти функцию распределения, если случайный вектор задан таблицей распределения:

xi \ yj	0	1	2
0	0	0
1	0		0
2		0	0