1. Математическое ожидание или среднее значение случайной величины

а) Для дискретных случайных величин.

Рассмотрим ДСВ Х, имеющую возможные значения х₁ , х₂, …, х_n с вероятностями р₁, р₂ , …, р_{n .} Охарактеризуем каким-нибудь числом положение значений СВ на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности, т. е. рассмотрим «среднее взвешенное» из х_i, причем каждое х_i, при осреднении учитывается с «весом», пропорциональным вероятности х_i:

.

Определение 39. Сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений называется математическим ожиданием случайной величины

. (1)

Замечания. 1. существует тогда и только тогда, когда ряд сходится.

2. Когда входит в формулы как определенное число, то ее обозначают .

Механическая интерпретация для ДСВ: пусть на оси (Ох) расположены точки с абсциссами х₁ , х₂, …,х_n , в которых сосредоточены соответственно массы р₁, р₂ , …, р_n , причем сумма всех масс равна 1 ( ), тогда – абсцисса центра тяжести данной системы материальных точек.

Связь между и средним арифметическим числа наблюдаемых значений СВ при большом числе опытов: при увеличении числа опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений СВ будет приближаться (сходиться по вероятности) к ее математическому ожиданию. Эта связь – одна из форм закона больших чисел.

b) Для непрерывных случайных величин.

Рассмотрим НСВ. Заменим в формуле (1) отдельные значения х_i непрерывно изменяющимся параметром х, соответствующие вероятности р_i – элементом вероятности f(x)dx, конечную сумму – интегралом, тогда

. (2)

Механическая интерпретация для НСВ: – абсцисса центра тяжести в случае, когда единичная масса распределена по оси (Ох) непрерывно с плотностью f(x).

Свойства .

1. , где С – постоянная.

2. .

3. .

4. .

5. , a, b – постоянные.

с) Для смешанных случайных величин.

, причем сумма распространяется на те точки х_i, где функция терпит разрыв, а интеграл берется по тем участкам, где функция непрерывна.

2. Мода случайной величины

Определение 40. Мода – наиболее вероятное значение случайной величины.

Иначе, мода – точка максимума многоугольника распределения для ДСВ или кривой распределения для НСВ.

Мода обознается М; когда мода входит в формулы как определенное число, то ее обозначают d_X.

а) Для дискретных случайных величин.

Мода М – такое значение х_m, что , где i = 1,…, n. M = x_m.

b) Для непрерывных случайных величин.

Мода – действительное число М (d_X), определяемое, как точка максимума плотности распределения f(x).

Замечание. Мода может не существовать, может иметь единственное значение или иметь бесконечное множество значений.

Определение 41. Распределения, обладающие посередине не максимумом, а минимумом называются антимодальными.

Замечание. Мода и математическое ожидание СВ не совпадают, но если распределение является симметричным и модальным и существует мат. ожидание, то оно совпадает с модой и центром симметрии распределения.