Решение.

Представим плотность в виде произведения:

, следовательно, по теореме, X и Y – независимые величины.

Пример 7. Дано распределение дискретных независимых случайных величин Х и У:

Х = хi	1	2
рi	0,2	0,8

У = уj	3	5
pj	0,4	0,6

Записать закон распределения случайного вектора (Х + У).

Решение.

Найдем возможные значения случайного вектора (Х + У): 1 + 3 = 4, 2 + 3 =5, 1 + 5 = 6, 2 + 5 = 7.

Найдем их вероятности, пользуясь условием независимости:

Р(Х = 1, У = 3) = , Р(Х = 2, У = 3) = , Р(Х = 1, У = 5) = ,

Р(Х = 2, У = 5) = .

Следовательно, ряд распределения случайного вектора (Х + У) имеет вид:

Х + У	4	5	6	7
р	0,08	0,32	0,12	0,48

Замечание. Одним из наиболее простых распределений системы двух непрерывных величин является равномерное распределение.

Определение 66. Система двух непрерывных случайных величин имеет равномерное распределение в области D плоскости (Оху), если плотность распределения в точках области D постоянна и равна нулю в остальных точках плоскости:

В силу свойства 2 плотности имеем, что , где площадь области D. Тогда вероятность попадания случайной точки в некоторую область плоскости (Оxy) находится по формуле:

Определение 67. Пусть Х и У независимые величины, распределенные по нормальному закону, их плотности распределения имеет вид:

, ,

Следовательно, плотность распределения системы (Х,У) на основании теоремы умножения плотностей распределения для случая независимых величин получим в виде

Если X и Y зависимы между собой, то закон распределения системы не может быть выражен через законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему, что привело к введению условных законов распределения.

Определение 68. Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина, входящая в систему, приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Обозначим G (x,y) – множество возможных значений случайного вектора (X , Y).

Рассмотрим СВДТ.

Условный закон распределения случайной компоненты Х при условии, что Y приняла определенное значение называется совокупность возможных значений и соответствующих этим значениям условных вероятностей , определяемых равенством:

или .

или .

Рассмотрим СВНТ.

Условный закон распределения случайной компоненты Х при условии, что Y приняла определенное значение :

Теорема (умножения законов распределения): .

Условие нормировки: .

Условие независимости Х от Y : Y от Х :

П. 5. Числовые характеристики системы. Корреляция. Линии регрессии

Определение 69. Начальным моментом порядка случайного вектора (Х,У) называется математическое ожидание произведения k-ой степени Х на s-ую степень Y:

для СВДТ,

для СВНТ.

Математическое ожидание дискретных случайных величин X и Y, входящих в систему:

, .

и определяют координаты точки, называемой центром рассеивания системы на плоскости.

Определение 70. Центральным моментом порядка случайного вектора (Х,У) называется математическое ожидание произведения k-ой и s-ой степеней соответствующих центрированных величин:

.

для СВДТ.

для СВНТ.

Дисперсия случайных величин X и Y, входящих в систему – характеристика рассеивания случайной точки в направлении осей (ох) и (оy):

, .

Дисперсия дискретных случайных величин X и Y, входящих в систему:

, .

Дисперсия непрерывных случайных величин X и Y, входящих в систему:

, .

Замечание. Для краткого описания условных законов распределения используются различные характеристики, наиболее важной из которых является математическое ожидание:

Определение 71. Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Х при условии, что Y принимает одно из своих возможных значений Y = y_j, называется сумма произведений возможных значений Х на их условные вероятности:

.

Для непрерывной случайной величины Х: .

Аналогично, вводится понятие условного мат. ожидания для СВ Y.

Пример 8. По некоторой цели производится два выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле равна р. Рассмотрим две случайные величины: Х – число попаданий в цель, Y – число промахов. Составить таблицу распределения, записать функцию распределения системы и найти числовые характеристики .