Решение.

Количество испытаний n = 15, вероятность успеха р = 0,9, вероятность неудачи q = 0,1.

, .

Т.к. – целое число, то – наивероятнейшее число элементов, выдержавших испытание.

Вероятность этого числа найдем по формуле Бернулли:

P₁₅(14) = . (Удобнее было по локальной формуле Муавра – Лапласа).

§ 7. Случайные величины п. 1. Основные определения

Определение 29. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Случайные величины (СВ) обозначаются большими буквами X, Y…

Примеры СВ: X – число попаданий при трех выстрелах, Y – абсцисса точки попадания при выстреле.

Случайные величины характеризуются своими возможными значениями, которые обозначаются маленькими буквами, соответствующими случайной величине: x, y…

Например, случайная величина X – число попаданий при трех выстрелах характеризуется следующими возможными значениями: x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2, x₄ = 3.

Определение 30. Случайные величины, принимающие только отдаленные друг от друга возможные значения, которые можно заранее перечислить, называются дискретными случайными величинами (ДСВ).

Примеры ДСВ. 1) В приведенном выше примере СВ X. 2) Случайная величина Z – число вызовов скорой помощи за сутки. Ее возможные значения z₁ = 0, z₂ = 1, z₃ = 2,…, z_n-1 = n.

Определение 31. Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток (который иногда имеет резко выраженные границы, а чаще – расплывчатые, неопределенные), называются непрерывными случайными величинами (НСВ).

Примеры НСВ. 1) В приведенном выше примере СНВ Y – абсцисса точки попадания при выстреле. Ее возможные значения заполняют некоторый промежуток [y₁, y₂]. 2) СНВ В – ошибка взвешивания тела на весах. Ее возможные значения заполняют некоторый промежуток [b₁, b₂].

Замечание. В классической теории вероятностей рассматриваются события, в современной теории вероятностей – случайные величины.

Определение 32. Случайная величина X называется характеристической случайной величиной события А.

Примеры перехода от событий к случайным величинам.

1). Рассмотрим событие А, которое в результате опыта происходит или нет. Введем в рассмотрение случайную величину X такую, что если А происходит, то X = 1, если А не происходит, то X = 0. Следовательно, X – дискретная случайная величина с возможными значениями x₁ = 0, x₂ = 1.

Если происходит ряд таких опытов, то общее число появлений события А равно сумме характеристических случайных величин X события А во всех опытах.

2). Пусть в действительности точка М совпадает с началом координат – точкой О. При измерении координат точки М были допущены ошибки. Событие А = {Ошибка в положении точки М не превзойдет заданного значения r}. Пусть X, Y – случайные ошибки при измерении координат точки. Это непрерывные случайные величины, так как их возможные значения непрерывно заполняют некоторые промежутки. Событие А равносильно попаданию точки М(X,Y) в пределы круга радиуса r с центром в точке О. Т.е. для выполнения события А случайные величины должны удовлетворять неравенству: . Вероятность события А равна вероятности выполнения неравенства, которая может быть определена, если известны свойства X, Y.