Решение.

Случайный вектор дискретного типа, следовательно, F(x,y) =

F(x, y)	y ≤ 0	0 < y ≤ 1	1 < y ≤ 2	y > 2
x ≤ 0	0	0	0	0
0 < x ≤ 1	0	0	0
1 < x ≤ 2	0	0		+ =
x > 2	0		+ =	+ + = 1

3. Плотность распределения (для свнт)

Определение 63. (первое определение) Плотностью распределения системы двух непрерывных случайных величин называется предел отношения вероятности попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник к площади прямоугольника, когда оба его размера стремятся к нулю:

.

Распишем интервальную вероятность с помощью функции распределения:

Правая часть равенства – определение смешанной производной функции двух переменных F(x, y), отсюда следует

Определение 64. (второе определение) Плотностью распределения системы двух непрерывных случайных величин называется смешанная частная производная от функции распределения системы:

.

О тсюда, .

Геометрически f(x, y) можно изобразить некоторой поверхностью, которую называют поверхностью распределения.

Вероятность попадания случайной точки в некоторую область D плоскости (Оxy) находится по формуле:

.

Геометрически вероятность попадания случайной точки в область D плоскости (Оxy) изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного поверхностью распределения и опирающегося на эту область.

Свойства плотности

1. f(x, y) – неотрицательная функция, т.е. f(x, y) ≥ 0.

2. Условие нормировки: .

Пример 4. Дана плотность распределения непрерывного вектора . Найти: 1) коэффициент а, 2) функцию распределения F(x, y), 3) вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами в точках О(0,0), А(0,1), В( , С

Решение.

1) Для вычисления коэффициента а применим условие нормировки:

.

2) По определению

.

3) В ероятность попадания в прямоугольник.

1 способ:

.

2 способ (по 5 свойству):

= –

– 0∙0 = .

Пример 5. Дана плотность распределения непрерывного вектора . Найти вероятность того, что случайная точка принадлежит треугольнику с вершинами в точках О(0,0), А(1,2), В(0,1).

Решение.

Плотность распределения задана в квадрате. О бласть пересечения квадрата с заданным треугольником – заштрихованный треугольник, ограниченный снизу прямой , сверху – прямой , причем, , следовательно,

.

П. 4. Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему. Равномерное и нормальное распределения. Условные законы распределения

Пусть известна плотность распределения f(x, y) случайного вектора. Согласно свойству 1 (условие согласованности) для функции распределения F(x, y): F(x, +∞) = F₁(x), F(+∞, y) = F₂(y), можем записать, что,

F₁(x) = , F₂(y) = .

Отсюда, дифференцированием первого равенства по х, а второго по y, получим, что плотности распределения одной из величин равны интегралу от плотности распределения системы в бесконечных пределах по аргументу, соответствующему другой случайной величине:

, .

Ставится вопрос, как по известным законам распределения отдельных величин, входящих в систему, найти закон распределения системы. В общем случае эта задача не разрешима, но, с другой стороны, закон распределения системы должен содержать все сведения о величинах, входящих в систему, в том числе и сведения о том, как они связаны между собой.

Определение 65. Случайные величины X и Y, входящие в систему, называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае, они называются зависимыми.

Теорема. Для того, чтобы дискретные случайные величины X и Y , входящие в систему, были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

или p_ij = p_i p_j.

Для того, чтобы непрерывные случайные величины X и Y , входящие в систему, были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

или .

П ример 6. Дана плотность распределения непрерывного вектора: . Зависимы или независимы случайные величины, входящие в систему?