Свойства плотности распределения
1. f(x)
– неотрицательная функция, т. е.
.
Пояснение: это следует из того, плотность распределения есть производная от неубывающей функции . Геометрически: вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс.
2. Условие нормировки: интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен 1: . (4) Доказательство
Подставим в равенство (3)
,
учитывая, что
:
.
Геометрически данное свойство означает следующее: полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс равна единице.
Пример 1. Дана функция распределения
НСВ Х:
.
Найти 1) коэффициент а, 2) плотность
распределения f(x),
3)
,
построить графики функций
и f(x).
Решение.
1) Т. к. – непрерывная функция, то при х = 1 должно выполняться равенство, что ах2 =1. То есть а12 =1. Отсюда, а = 1.
2) f(x)
=
,
тогда
.
3) 1 способ: (0,25; 0,5) входит в интервал (0; 1). По свойству 6 функции распределения:
.
2 способ. Можно было найти по формуле (1) с помощью плотности распределения:
.
Пример 2. Пусть НСВ Х подчинена
закону распределения с плотностью
Найти 1) коэффициент а, 2) функцию
распределения F(x),
3)
,
4) построить графики функций
и f(x).
Решение.
1) Для нахождения коэффициента а воспользуемся условием нормировки (4):
.
2) Найдем функцию распределения по формуле (3): .
Если
,
то
,
следовательно
.
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Итак,
3)
можно найти двумя способами,.
.
1 способ: По свойству 6 функции распределения:
.
2 способ. Можно было найти по формуле (1) с помощью плотности распределения:
.
Вывод:
Законы распределения |
|
ДСВ |
НСВ |
1. Ряд распределения (графически – многоугольник распределения). |
1. Функция распределения F(x). |
2. Функция распределения F(x). |
2. Плотность распределения f(x) (графически – кривая распределения). |
П. 4. Числовые характеристики случайных величин, их роль и назначение
Определение 38. Характеристики, назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками СВ.
Они не характеризуют СВ полностью, а указывают только отдельные числовые параметры, например, какое-то среднее значение, около которого группируются возможные значения СВ; какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего и т. д.
Пп 1. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана)
Данные характеристики характеризуют положение СВ на числовой оси, т. е. указывают некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины.
Например, 1) среднее время работы, 2) средняя точка попадания смещена относительно цели на 0,3 м вправо…
Разберем эти характеристики подробнее.