П. 2. Законы распределения случайных величин. Законы распределения дискретных случайных величин. Функция распределения

Для описания случайной величины (т.е. для возможности сказать, как часто следует ожидать появления тех или других возможных значений случайной величины в результате повторения опыта в одних и тех же условиях) необходимо знать закон распределения вероятностей случайной величины.

Определение 33. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Рассмотрим дискретную случайную величину (ДСВ) X с возможными значениями x₁, x₂, x₃,…, x_n. Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и X может принять каждое из них с некоторой вероятностью.

В результате опыта величина X примет одно из этих значений, т.е. произойдет одно из полной группы несовместных событий: X = х₁ или X = х₂ или … X = х_n.

Обозначим Р(X = х₁) = р₁ , Р(X = х₂) = р₂ , …, Р( X = х_n) = р_n . Т.к. несовместные события образуют полную группу, то

– сумма вероятностей всех возможных значений ДСВ.

Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями ДСВ. Задать это распределение, т.е. указать, какой вероятностью обладает каждое из событий, значит установить закон распределения СВ.

Говорят, что СВ подчинена данному закону распределения.

Формы закона распределения дсв.

1. Простейшей формой задания закона распределения является таблица, называемая рядом распределения ДСВ.

xi	x1	x2	…	xn
pi	р1	p2	…	pn

Для элементов нижней строки должно выполняться условие: .

2. Формой задания закона распределения является многоугольник распределения – фигура, получаемая при графическом изображении ряда распределения.

Возможные значения откладываются по оси (Ох). Вероятности возможных значений откладываются по оси (Oy).

Механическая интерпретация ряда распределения ДСВ: Распределение единичной массы в нескольких изолированных точках по оси (Ох). (В отдельных точках х₁ , х₂, …,х_n сосредоточены соответственно массы р₁, р₂ , …, р_n , сумма которых равна 1.)

Пример 1. Рассмотрим опыт, в котором может появиться или не появиться событие А. Р(А) = 0,3. Рассмотрим случайную величину Х – число появлений события А в данном опыте, т.е. возможные значения данной величины: х₁ = 0 (А не появится), х₂ = 1 (А появится). Построить ряд распределения и многоугольник распределения случайной величины Х.

Решение.

Р(X = х₁ = 0) = р₁ =1 – 0,3 = 0,7, Р(X = х₂ = 1) = р₂ = 0,3.

xi	0	1
pi	0,7	0,3

Проверка: .

Пример 2. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Построить ряд и многоугольник распределения числа выбитых очков.