- •Теория вероятностей
- •§ 1. Предмет теории вероятностей
- •§ 2. Случайные события или исходы. Множество элементарных событий. Основные понятия
- •Примеры на построение множества ω.
- •Алгебраические операции над событиями
- •Диаграмма Венна.
- •Свойства операций
- •§ 3. Различные подходы к определению вероятности
- •П. 1. Аксиоматическое определение вероятности
- •П. 2. Классическое определение вероятности
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп. 1. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп. 2. Геометрические вероятности в классической схеме
- •Решение.
- •П. 3. Статистическое определение вероятности
- •§ 4. Основные теоремы теории вероятностей п.1. Теоремы сложения вероятностей
- •Доказательство.
- •Доказательство (методом математической индукции).
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Решение.
- •Д оказательство (геометрическое)
- •П.2. Теоремы умножения вероятностей
- •Доказательство.
- •Решение.
- •Решение.
- •§ 5. Формулы полной вероятности и формула Байеса п. 1. Формула полной вероятности (следствие обеих основных теорем сложения и умножения)
- •Решение.
- •П. 2. Формула Байеса (Бейеса) (следствие теоремы умножения и формулы полной вероятности)
- •Решение.
- •§ 6. Последовательность независимых испытаний п. 1. Независимые испытания
- •П. 2. Формулы Бернулли.
- •Решение.
- •Решение.
- •Замечания.
- •Решение.
- •П. 3. Предельные теоремы в схеме Бернулли
- •Решение.
- •Решение.
- •Доказательство.
- •Решение.
- •П. 4. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях
- •Решение.
- •§ 7. Случайные величины п. 1. Основные определения
- •П. 2. Законы распределения случайных величин. Законы распределения дискретных случайных величин. Функция распределения
- •Формы закона распределения дсв.
- •Решение.
- •Решение.
- •3. Функция распределения – универсальный закон распределения (для дсв и нсв).
- •Свойства f(X).
- •Доказательство.
- •Графики функции распределения.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Плотность распределения вероятностей нсв
- •Свойства плотности распределения
- •2. Условие нормировки: интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен 1: . (4) Доказательство
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Числовые характеристики случайных величин, их роль и назначение
- •Пп 1. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана)
- •1. Математическое ожидание или среднее значение случайной величины
- •2. Мода случайной величины
- •3. Медиана случайной величины
- •Пп 2. Моменты
- •Доказательство.
- •И эксцесс
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин: биномиальный, Пуассона, гипергеометрический. Пп 1. Биномиальное распределение
- •Решение.
- •Пп 2. Распределение Пуассона
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп 3. Гипергеометрическое распределение
- •Решение.
- •П. 6. Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин: равномерный, показательный, нормальный Пп 1. Равномерное распределение или закон равномерной плотности
- •Решение.
- •Пп 2. Показательное или экспоненциальное распределение
- •Решение.
- •Пп 3. Нормальный закон распределения
- •Смысл параметров m и σ
- •Решение.
- •§ 8. Системы случайных величин или случайные векторы п. 1. Основные понятия.
- •П. 2. Законы распределения свдт и свнт
- •Закон. Таблица распределения – закон распределения свдт.
- •Решение.
- •Решение.
- •Закон. Функция распределения – закон распределения свдт и свнт.
- •Решение.
- •3. Плотность распределения (для свнт)
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему. Равномерное и нормальное распределения. Условные законы распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Числовые характеристики системы. Корреляция. Линии регрессии
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •§ 9. Закон больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей
Решение.
Число всех исходов опыта равно . Число исходов, благоприятствующих событию А = {записанные номера будут идти по порядку} равно Тогда вероятность события А равна
Пример 2. 10 мячей размещают по 20 корзинам. Найти вероятности следующих событий: а) А ={в определенных 10 корзинах окажется по мячу}, б) B = {в каких-то 10 корзинах окажется по мячу}, в) C = {все 10 мячей поместятся в 3 корзины}.
Решение.
Это схема – размещение по ячейкам. Число всех исходов опыта равно .
а) В определенных 10 корзинах окажется ровно по одному мячу. Это вторая схема – размещения без возвращения, а именно перестановки (число шаров равно числу корзин). Число исходов, благоприятствующих событию А, равно Тогда вероятность события А равна
б) В каких-то 10 корзинах окажется ровно по одному мячу. Это вторая схема – размещения без возвращения. Число исходов, благоприятствующих событию В, равно . Тогда вероятность события В равна
с) Все 10 мячей поместятся в 3 корзины. Корзины не указаны, значит, мы должны выбрать три корзины из 20 (это первая схема – сочетания) и положить в них все 10 мячей, следовательно, в одной корзине может оказаться несколько мячей (это четвертая схема – размещения с повторениями). Тогда число исходов, благоприятствующих событию С, равно Вероятность события С:
Пример 3. Два раза бросается игральная кость. Найти вероятность того, что оба раза не выпадут «6»-ки?
Решение.
По замечанию в). При однократном бросании кости – 6 исходов. То есть при первом бросании – 6 исходов и при втором бросании – 6 исходов (могут оба раза выпасть одинаковые цифры). Следовательно, число всех исходов опыта равно Шестерки не выпали, значит осталось 5 вариантов на первое и второе бросание. Число исходов, благоприятствующих событию А, равно Тогда вероятность события А равна
Пп. 2. Геометрические вероятности в классической схеме
Классическая теория вероятностей основана на рассмотрении конечной группы равновероятных событий. Теория недостаточна, когда получается бесконечное множество исходов. Поэтому классическое определение несколько видоизменили для опытов с бесконечным множеством исходов, хотя при этом по-прежнему основную роль играет понятие «равновероятности» некоторых событий.
Формулировка общей задачи геометрической вероятности:
Пусть в пространстве (одномерном, двумерном, трехмерном) имеется некоторая область D и в ней содержится другая область d с квадриремой границей. В область D наудачу бросается точка. Брошенная точка может попасть в любую точку области D. Вероятность попасть при бросании в какую-либо часть области D пропорциональна мере (mes) этой части (длине, площади, объему в зависимости от рассматриваемого пространства) и не зависит от ее расположения и формы. Вероятность попадания в область d при бросании наудачу точки в область D находится по формуле:
формула геометрической вероятности.
Частные случаи.
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. Вероятность попадания на отрезок l при бросании наудачу точки на отрезок L находится по формуле .
Пусть плоская фигура s составляет часть плоской фигуры S. Вероятность попадания на фигуру s при бросании наудачу точки в область S находится по формуле .
Пусть объемная фигура v составляет часть объемной фигуры V. Вероятность попадания в фигуру v при бросании наудачу точки в область V находится по формуле .
Пример 1 (задача о встрече). Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 12 часами и часом. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти наудачу, и моменты прихода независимы.
Решение.
Обозначим моменты прихода лица А через х, а лица В через у, причем .
Для того, чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы х и у удовлетворяли неравенству или, что то же самое, (это неравенство означает: пришедший первым ждет другого в течение 20 минут).
Раскроем модуль: .
И
у
60
у=х+20
у=х-20
х
О
60
20
20
Пример 2 (Задача Бюффона).
Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу бросается игла длины 2l (l < a), то есть 1) центр иглы наудачу падает на отрезок длины 2а, перпендикулярный к проведенным прямым, 2) вероятность того, что угол φ, составленный иглой и проведенными прямыми, будет заключаться между φ1 и φ1+Δφ, пропорциональна Δφ, 3) величины х и φ независимы. Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.