- •Теория вероятностей
- •§ 1. Предмет теории вероятностей
- •§ 2. Случайные события или исходы. Множество элементарных событий. Основные понятия
- •Примеры на построение множества ω.
- •Алгебраические операции над событиями
- •Диаграмма Венна.
- •Свойства операций
- •§ 3. Различные подходы к определению вероятности
- •П. 1. Аксиоматическое определение вероятности
- •П. 2. Классическое определение вероятности
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп. 1. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп. 2. Геометрические вероятности в классической схеме
- •Решение.
- •П. 3. Статистическое определение вероятности
- •§ 4. Основные теоремы теории вероятностей п.1. Теоремы сложения вероятностей
- •Доказательство.
- •Доказательство (методом математической индукции).
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Решение.
- •Д оказательство (геометрическое)
- •П.2. Теоремы умножения вероятностей
- •Доказательство.
- •Решение.
- •Решение.
- •§ 5. Формулы полной вероятности и формула Байеса п. 1. Формула полной вероятности (следствие обеих основных теорем сложения и умножения)
- •Решение.
- •П. 2. Формула Байеса (Бейеса) (следствие теоремы умножения и формулы полной вероятности)
- •Решение.
- •§ 6. Последовательность независимых испытаний п. 1. Независимые испытания
- •П. 2. Формулы Бернулли.
- •Решение.
- •Решение.
- •Замечания.
- •Решение.
- •П. 3. Предельные теоремы в схеме Бернулли
- •Решение.
- •Решение.
- •Доказательство.
- •Решение.
- •П. 4. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях
- •Решение.
- •§ 7. Случайные величины п. 1. Основные определения
- •П. 2. Законы распределения случайных величин. Законы распределения дискретных случайных величин. Функция распределения
- •Формы закона распределения дсв.
- •Решение.
- •Решение.
- •3. Функция распределения – универсальный закон распределения (для дсв и нсв).
- •Свойства f(X).
- •Доказательство.
- •Графики функции распределения.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Плотность распределения вероятностей нсв
- •Свойства плотности распределения
- •2. Условие нормировки: интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен 1: . (4) Доказательство
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Числовые характеристики случайных величин, их роль и назначение
- •Пп 1. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана)
- •1. Математическое ожидание или среднее значение случайной величины
- •2. Мода случайной величины
- •3. Медиана случайной величины
- •Пп 2. Моменты
- •Доказательство.
- •И эксцесс
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин: биномиальный, Пуассона, гипергеометрический. Пп 1. Биномиальное распределение
- •Решение.
- •Пп 2. Распределение Пуассона
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп 3. Гипергеометрическое распределение
- •Решение.
- •П. 6. Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин: равномерный, показательный, нормальный Пп 1. Равномерное распределение или закон равномерной плотности
- •Решение.
- •Пп 2. Показательное или экспоненциальное распределение
- •Решение.
- •Пп 3. Нормальный закон распределения
- •Смысл параметров m и σ
- •Решение.
- •§ 8. Системы случайных величин или случайные векторы п. 1. Основные понятия.
- •П. 2. Законы распределения свдт и свнт
- •Закон. Таблица распределения – закон распределения свдт.
- •Решение.
- •Решение.
- •Закон. Функция распределения – закон распределения свдт и свнт.
- •Решение.
- •3. Плотность распределения (для свнт)
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему. Равномерное и нормальное распределения. Условные законы распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Числовые характеристики системы. Корреляция. Линии регрессии
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •§ 9. Закон больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей
Решение.
СВ Х имеет биномиальное распределение, следовательно, сразу по формулам имеем:
(детали в среднем бракованы).
.
(детали) – разброс бракованных деталей относительно среднего числа.
Пп 2. Распределение Пуассона
Постановка задачи: пусть СВ Х выражает число появления события А ( m раз) при n независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях, причем n очень велико ( . Вероятность появления события А – р – очень мала. Вероятности возможных значений х0 = 0, х1 = 1,…, хn = n данной СВ можно вычислить, пользуясь асимптотической формулой Пуассона:
Pn(Х = m) = ,
где – среднее число появления события в n испытаниях: .
Определение 51. Распределение дискретной случайной величины, для которой ряд распределения задается формулой Пуассона, называется распределением Пуассона.
Примеры типовых задач: 1) число вызовов на телефонной станции за некоторое время t, 2) число отказов сложной аппаратуры за некоторое время t, 3) распределение изюма в булочках, 4) число кавалеристов, убитых за год копытом лошади.
Распределение Пуассона зависит только от одного параметра . Так как это среднее число появления события в n испытаниях, то это ни что иное как математическое ожидание, следовательно,
.
Можно вывести, что дисперсия СВ Х, распределенной по закону Пуассона, находится по формуле:
.
Замечание. Мы использовали распределение Пуассона как приближенное в тех случаях, когда точным распределением СВ является биномиальное распределение, и когда математическое ожидание мало отличается от дисперсии, т. е. .
Можно было получить распределение Пуассона, рассматривая задачу о числе случайных точек на оси абсцисс, попадающих на заданный отрезок, причем среднее число точек, приходящихся на единицу длины.
Пример 1. На телефонную станцию в течение определенного часа дня поступает в среднем 30 вызовов. Найти вероятность того, что в течение минуты поступает не более двух вызовов.
Решение.
– среднее число появления события в n испытаниях, т. е. .
СВ Х – число вызовов, ее возможные значения: х0 = 0, х1 = 1, х2 = 2.
По условию, в течение минуты поступает не более двух вызовов, т. е. , тогда,
Пример 2. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,002. Найти вероятность того, что на базу прибудет 3 негодных изделия.
Решение.
Дано: р = 0,002; q = 1 – р = 0,998; n = 500. Проверим, можно ли воспользоваться формулой Пуассона, т. е. проверим истинность равенства: .
, , отсюда, , т. е. можно пользоваться формулой Пуассона.
, следовательно,
P500(Х = 3) = = .
Пп 3. Гипергеометрическое распределение
Постановка задачи: производится ряд n независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью р наступает событие А. Опыты продолжаются до первого появления события А. Случайная величина Х – число проведенных опытов. х0, х1,…, хn – возможные значения данной СВ.
Определение 52. Х с возможными значениями 0, 1, …, m, …, а имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, а, b, если .
Можно вывести, что ,
.
Определение 53. Х имеет гипергеометрическое распределение, если
, n = n1 + n2 +…+ nn, m = m1 + m2 +…+ mn.
Пример типовой задачи: из урны, содержащей 5 красных и 7 синих шаров, случайным образом и без возвращения извлекается 3 шара. Случайная величина Х – число синих шаров в выборке. Описать закон распределения Х и найти математическое ожидание.