Решение.

По условию , тогда , так как .

.

Пп 3. Нормальный закон распределения

Определение 56. НСВ Х распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения f(x) имеет вид:

, где .

Нормальный закон называют еще законом распределения Гаусса.

Говорят, что случайная величина Х подчинена нормальному закону и пишут N(m, σ).

Примеры типовых задач: случайные величины в них характеризуют ошибки при измерениях, боковые отклонения и отклонения по дальности при стрельбе, величина износа деталей…

График плотности или кривая распределения называется гауссовской кривой. Она имеет симметричный холмообразный вид. При x = m . Ветви кривой быстро приближаются к оси (Ох): площадь под кривой на участке равна 90% площади под всей кривой.

Г лавная особенность нормального закона состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Кривые распределения по всем другим законам распределения получаются из одной единственной кривой – гауссовской.

Для наглядной демонстрации нормального закона распределения иногда используют специальное устройство – доску Гальтона. В нем падающие сверху шарики распределяются между правильными шестиугольниками и в результате падают на горизонтальную поверхность, образуя картинку, похожую на подграфик гауссовой кривой.

Распределение пассажиров по вагонам метро – гауссово распределение. Покажем это. Пассажиры метро бегут по переходу, выходящему на середину станции, на поезд, стоящий напротив выхода из перехода. Платформа, у которой стоит поезд, равномерно разделена колоннами. Ясно, что большинство пассажиров войдет в средние вагоны, а по мере удаления вагонов от центра, количество садящихся в них людей будет уменьшаться.

Замечание. С гауссовской плотностью f(x) мы встречались при рассмотрении локальной теоремы Муавра- Лапласа.

1. Убедимся, что f(x) действительно плотность НСВ, для чего проверим равенство (условие нормировки). Известно, что (интеграл Пуассона). Что и требовалось доказать.

2. Докажем, что численные параметры m и σ совпадают с основными характеристиками распределения: – мат. ожидание, – среднеквадратическое отклонение. Для этого вычислим и .

.

Таким образом, . Этот параметр, особенно в задачах стрельбы, называют центром рассеивания.

Доказать самостоятельно, что . (Сначала вычислить дисперсию).

Смысл параметров m и σ

.

m – центр симметрии распределения (т.к. при изменении знака разности (x – m) в формуле плотности на противоположный, выражение не меняется). Если изменять центр рассеивания m, то кривая распределения будет смещаться вдоль оси (Ох), не изменяя своей формы. Следовательно, m характеризует положение распределения на оси (Ох).

Размерность m та же, что и размерность случайной величины Х.

В задачах m означает систематические ошибки.

σ характеризует форму кривой распределения, т.к. это характеристика рассеивания. Площадь под кривой распределения всегда должна быть равна 1. Наибольшая ордината кривой распределения обратно пропорциональна σ, следовательно, при увеличении σ максимальная ордината уменьшается.

Размерность σ совпадает с размерностью СВ.

В задачах σ означает стандартные ошибки.

Замечания.

1. В некоторых курсах теории вероятностей вводят понятие меры точности , тогда нормальный закон запишется в виде:

2. .

3. Если НСВ Х распределяется по закону N(0, 1), то она называется стандартизованной случайной величиной.

Формула для центральных моментов любого порядка имеет вид:

.

Т.к. , то все нечетные моменты равны 0 (это следует из симметричности нормального закона).

Для четных моментов: , т.е.

Асимметрия нормального закона эксцесс (назначение эксцесса характеризовать крутость законов по сравнению с нормальным законом), мода медиана

Найдем вероятность попадания НСВ Х, подчиненной нормальному закону с параметрами m и σ, на участок от α до β.

или , тогда

(интеграл вычисляется с помощью специальной функции – функции Лапласа Ф(х) [смотри предельную интегральную теорему Муавра-Лапласа §6 п. 3])

= .

Итак, .

Вероятность попадания НСВ Х левее β находится по формуле: .

Свойства функции Лапласа

1. Ф(x) определена для всех действительных х.

2. Ф(–∞) = 0.

3. Ф(x) неубывающая, т. е. возрастает на R.

4. Ф(–x) = 1 – Ф(x) (это следует из симметричности нормального распределения с параметрами m = 0, σ =1 относительно начала координат).

5. Ф(+∞) = .

6. ,

7. – формула для нахождения вероятности того, что абсолютная величина отклонения СВ Х от числа m меньше положительного числа δ, где δ – ошибка.

Если m = 0, то .

Вывод 7 свойства.

Из 4 свойства и формулы для вычисления интервальных вероятностей имеем, что:

= 1+

Функция Лапласа затабулирована. Для тех значений x, которых нет в таблице: , Ф(x) = 1.

Свойства функции Лапласа

1. Ф(x) определена для всех действительных х.

2. Ф(0) = 0.

3. Ф(x) неубывающая, т. е. возрастает на R.

4. Ф(–x) = – Ф(x).

5. .

6. .

7. . Если m = 0, то .

Функция Лапласа затабулирована. Для тех значений x, которых нет в таблице: , .

Пример. Длина изготовленной автоматом детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами m = 10, σ = . Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали 10 ± 0,05.