Решение.

Пусть событие А = {появился белый шар}. Общее число исходов n = 2 + 3 = 5 (всего шаров); число исходов, благоприятствующих событию А, m = 2 (всего 2 белых шара). Тогда

Замечание. Подсчет числа элементов тех или иных подмножеств множества Ω часто облегчается благодаря следующей формуле: число элементов прямого произведения множеств равно произведению числа элементов составляющих множеств, то есть .

Пример. Мальчик записал двузначное число. Какова вероятность, что оно четное?

Решение.

На первом месте мальчик может записать 9 цифр (0 быть не может), на втором месте – 10 цифр, следовательно, общее число исходов n = .

Найдем число исходов, благоприятствующих событию А = {мальчик записал четное число}. На первом месте может быть записано 9 цифр, а вот на втором месте, чтобы число было четным, могут быть поставлены цифры 0, 2, 4, 6, 8, то есть 5 цифр. Тогда число исходов, благоприятствующих событию А, равно

Тогда вероятность

Пп. 1. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме

Комбинаторика – математический аппарат для вычисления числа различных комбинаций элементов множества (изучалась в теории множеств). Каждая из комбинаторных формул определяет общее число исходов в опыте: выборке наудачу m элементов из n различных элементов исходного множества, при этом выбор может осуществляться: 1) последовательно по одному либо сразу всех элементов с исключением отобранных из исходного множества, 2) поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и перемешиванием исходного множества перед следующим выбором. После любой из двух выборок отобранные элементы либо упорядочиваются, либо нет.

Рассмотрим 4 различные схемы выбора.

1. Схема выбора, приводящая к сочетаниям

Пусть опыт состоит в выборке m неразличимых элементов из n наудачу без возвращения и без упорядочивания. Полученные исходы – сочетания из n элементов по m. Их общее число находится по комбинаторной формуле: .

Свойства сочетаний:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , если m > n.

Замечание.

Формула Стирлинга для вычисления факториала: .

Пример 1. В урне 10 красных и 9 синих шаров. Из урны вынимаются наудачу 2 шара. Найти вероятность, что оба шара будут синими.

Решение.

Событие А = {появление 2 синих шаров}. Всего шаров 10 + 9 = 19.

Общее число исходов n = .

Синих шаров – 9. Тогда число исходов, благоприятствующих событию А, равно .

Вероятность события А:

Пример 2. В партии из 10 деталей – 3 бракованных. Определить вероятность того, что в выбранных наудачу 4 изделиях 1) не будет ни одного бракованного, 2) будет ровно одно бракованное.

Решение.

Общее число исходов опыта, выборке наудачу 4 изделий из 10, равно n =

В партии 3 бракованных и 7 не бракованных деталей.

1. Событие А = {в выборке не будет ни одного бракованного изделия}, то есть все 4 детали возьмут из 7. Число исходов, благоприятствующих событию А, равно

Тогда вероятность события А равна:

2. Событие В = {в выборке будет ровно одно бракованное изделие}. Ему благоприятствуют только такие исходы, когда 1 элемент выборки принадлежит браку (3 детали), а остальные 3 детали – хорошим не бракованным деталям (их 7 штук). Тогда число исходов, благоприятствующих событию В, равно Общее число исходов осталось прежним:

Вероятность события В равна:

2. Схема выбора, приводящая к размещениям без возвращения

Пусть опыт состоит в выборке m различимых элементов из n наудачу без возвращения, но с упорядочиванием их по мере выбора в последовательную цепочку. Иначе, размещаем m элементов из n на m мест. На одно место – один элемент. Различными исходами опыта будут комбинации элементов, отличающиеся либо набором элементов, либо порядком их следования.

Полученные исходы – размещения из n элементов по m. Их общее число находится по комбинаторной формуле: .

Свойства размещений:

1) , 2) , 3) , 4)

Если число размещений совпадает с числом перестановок, то есть m = n, то полученные исходы опыта - размещения из n элементов множества А по n называют перестановками и их общее число находится по комбинаторной формуле  

Пример 1. Из 10 первых букв русского алфавита выбирали без возвращения 4 буквы и записывали их в порядке поступления. Какова вероятность того, что наудачу составленное слово будет оканчиваться буквой «а»?