П. 2. Формулы Бернулли.

Пусть проводятся последовательные независимые испытания, и наблюдается результат совместного осуществления тех или иных исходов каждого испытания.

Схема независимых испытаний является математической моделью серии испытаний, повторяющихся при неизменных условиях. Такая схема называется полиномиальной.

Простейшим классом повторяющихся независимых испытаний является последовательность независимых испытаний с двумя исходами (k = 2): «успех», «неудача» и с неизменными вероятностями успеха – р и неудачи – q, где q = 1 – p, в каждом испытании. Такая схема называется биномиальной.

Определение 27. Независимые испытания при двух исходах называются испытаниями Бернулли.

Рассмотрим задачу. Определить вероятность того, что в результате проведения n независимых испытаний некоторое событие А – успех (У) наступит ровно m раз, если в каждом из этих испытаний данное событие наступает с постоянной вероятностью Р(А) = Р(У) = р.

Решение.

Искомую вероятность обозначим P_m,n или P_n(m).

Событие А в данных испытаниях может появиться ровно m раз, причем, в разных последовательностях или комбинациях. Следовательно, остальные (n–m) раз наступает противоположное событие – неудача (Н), вероятность которого Р( ) = Р(Н) = q, (q = 1 – p).

Сначала найдем вероятность того, что события У наступают при определенных m испытаниях. Элементарные события в этом случае естественно обозначать цепочками вида:

УУУННУНН…УН (где У – m штук, Н – (n-m) штук).

По условию данные события – независимые, следовательно, по теореме 4 для произведения независимых событий можем записать, что

Р(УУУННУНН…УН) = Р(У)Р(У)Р(У)Р(Н)Р(Н)….Р(У)Р(Н) = р^mq^n-m.

Число успехов и неудач задано. Можно менять только их расположения в цепочках, которое однозначно определяется выбором из n мест m мест для успехов. Это можно сделать способами. Следовательно,

P_n(m) = р^mq^n-m.

В данной задаче мы доказали теорему Бернулли.

Теорема Бернулли. Если m – число успехов в n независимых испытаниях Бернулли, то вероятность того, что в результате проведения этих испытаний некоторое событие А наступит ровно m раз, находится по формуле: P_n(m) = р^mq^n-m, которая называется формулой Бернулли.

Следствие. , так как события, состоящие в различном числе появления события А в серии n испытаний несовместны и образуют полную группу. Или можно было данное равенство объяснить так: .

Пример. Пусть монета брошена 5 раз. Требуется найти вероятность того, что выпало ровно 3 орла.

Решение.

В каждом из 5 независимых испытаниях (n = 5) – бросании монеты – два исхода (k = 2: орел, решка), следовательно, это схема Бернулли с вероятностью успеха (выпал орел) и неудачи (выпала решка) . Количество успехов: m = 3.

По формуле Бернулли P_n(m) = р^mq^n-m найдем искомую вероятность:

P₅(3) = .

Замечания.

Замечание 1. Вероятность P_n(m) равна коэффициенту при x^m в разложении бинома (q+px)ⁿ по степеням x. В силу этого свойства совокупность вероятностей P_n(m) называют биномиальным законом распределения вероятностей. (будем изучать позднее)

Замечание 2. Рассмотрим схему испытаний с произвольным количеством исходов. Пусть каждое из n независимых испытаний имеет k взаимно исключающих друг друга исходов, т.е. в каждом испытании может появиться одно из k несовместных событий: с вероятностями , не меняющимися от испытания к испытанию. Найдем вероятность появления в течении этих n испытаний m₁ раз события А₁, m₂ раза события А₂,…, m_k раз события А_k. (m₁ + m₂ + …+ m_k = m). Данная вероятность находится по формуле:

.

Эта совокупность вероятностей является коэффициентом при в разложении полинома по степеням x. Поэтому эту схему называют полиномиальной.

Например. При n подбрасываниях игральной кости получается полиномиальная схема с шестью исходами ( k = 6) и вероятностями .

Если различать только «6» и «не 6», то получим схему Бернулли с двумя исходами (k = 2) и вероятностями успеха и неудачи .

Замечание 3. При вычислении вероятности события, состоящего в том, что число успехов m лежит, например, между а и b, приходится находить числовые значения сумм вероятностей вида:

.

Например, вероятность того, что событие наступит а) менее k раз, b) более k раз, c) не менее k раз, d) не более k раз находятся соответственно по формулам:

а)

b)

с)

d)

В некоторых случаях удобнее перейти к противоположному событию, например, .

Пример. Пусть монета брошена 5 раз. Требуется найти вероятность того, что 1) менее двух раз выпал орел, 2) не менее двух раз выпал орел.