Решение.

1) Величину а найдем из условия: : 0,4 + 0,2 + а = 1, отсюда а = 0,4.

2) Найдем математическое ожидание и дисперсию:

По формуле (1) ,

По формуле (8) D[X] = .

Дисперсию можно было найти, используя формулу (10) и (4): =

3) = (по 5 свойству мат. ожидания) = ,

= (по 5 свойству дисперсии) =

Пример 2. (Ранее рассматривали задачу, п.2, пример 2)

Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. СВ Х – число попаданий. Определить: 1) математическое ожидание, 2) дисперсию, 3) среднее квадратическое отклонение, 4) моду, 5) асимметрию, 6) среднее арифметическое отклонение.

Решение.

Ранее мы построили ряд распределения числа попаданий. Ряд распределения имеет вид:

xi	0	1	2	3
pi	0,216	0,432	0,288	0,064

1) . (по формуле1).

2)D[X] =

(по формуле 8. Можно было по формуле (4): ).

3) (по формуле 11).

4) Найдем моду М: , следовательно, М = 1.

5) По формуле (6)

=

Тогда коэффициент асимметрии по формуле (12) .

6) По формуле (14) найдем среднее арифметическое отклонение: .

Пример 3. Непрерывная случайная величина подчинена закону распределения с плотностью . Найти: 1) коэффициент А, 2) математическое ожидание, 3) дисперсию, 4) среднее квадратическое отклонение, 5) моду, 6) медиану, 7) асимметрию, 8) эксцесс.

Решение.

1) Если х < 0 , если .

Воспользуемся свойством плотности распределения для определения А:

.

2) , т. к. функция нечетная.

3) D[X] = , следовательно,

D[X] = (решаем методом интегрирования по частям, 2 раза) = 2

4) .

5) М = 0.

6) , следовательно, ,

, следовательно, х = 0 , т. е., Ме = 0.

7) , как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции. Следовательно, асимметрия Sk = 0.

8) , следовательно, эксцесс .

П ример 4. Случайная величина Х подчинена закону распределения, плотность которого задана графически. Найти: 1)выражение для плотности, 2) найти мат. ожидание, 3) дисперсию.

Решение.

1) .

2) , следовательно, .

3) Дисперсию найдем двумя способами.

1 способ (по определению): D[X] = .

2 способ (через начальные моменты):

= .

П. 5. Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин: биномиальный, Пуассона, гипергеометрический. Пп 1. Биномиальное распределение

Постановка задачи: пусть СВ Х выражает число появления события А ( m раз) при n независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях. Вероятность появления события А – р – постоянна. Вероятности возможных значений х₀ = 0, х₁ = 1,…, х_n = n данной СВ определяются по формуле Бернулли:

P_n(Х = m) = р^mq^n-m.

Определение 50. Распределение дискретной случайной величины, для которой ряд распределения задается формулой Бернулли, называется биномиальным.

Примеры типовых задач: 1) число бракованных изделий в выборке из n деталей, 2) число попаданий или промахов при выстрелах в мишень.

Найдем математическое ожидание и дисперсию СВ, имеющей биномиальное распределение.

1) . (*)

Вычислим данную сумму. Ранее записали следствие из теоремы Бернулли, что . Следовательно, .

Продифференцируем данное равенство по переменной р:

.

, умножим обе части полученного равенства на р:

, следовательно, из (*):

= .

Вывод: математическое ожидание числа наступления события А в серии независимых и одинаковых испытаний равно произведению числа испытаний на вероятность появления события при одном испытании

.

2) Можно вывести, что дисперсия СВ Х, распределенной по биномиальному закону, находится по формуле:

.

Тогда среднее квадратическое : .

Пример. Случайная величина Х представляет число бракованных деталей из выборки в 50 штук. Вероятность брака одной детали р = 0,06. Найти , , числа бракованных деталей в выборке.