- •Теория вероятностей
- •§ 1. Предмет теории вероятностей
- •§ 2. Случайные события или исходы. Множество элементарных событий. Основные понятия
- •Примеры на построение множества ω.
- •Алгебраические операции над событиями
- •Диаграмма Венна.
- •Свойства операций
- •§ 3. Различные подходы к определению вероятности
- •П. 1. Аксиоматическое определение вероятности
- •П. 2. Классическое определение вероятности
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп. 1. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп. 2. Геометрические вероятности в классической схеме
- •Решение.
- •П. 3. Статистическое определение вероятности
- •§ 4. Основные теоремы теории вероятностей п.1. Теоремы сложения вероятностей
- •Доказательство.
- •Доказательство (методом математической индукции).
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Решение.
- •Д оказательство (геометрическое)
- •П.2. Теоремы умножения вероятностей
- •Доказательство.
- •Решение.
- •Решение.
- •§ 5. Формулы полной вероятности и формула Байеса п. 1. Формула полной вероятности (следствие обеих основных теорем сложения и умножения)
- •Решение.
- •П. 2. Формула Байеса (Бейеса) (следствие теоремы умножения и формулы полной вероятности)
- •Решение.
- •§ 6. Последовательность независимых испытаний п. 1. Независимые испытания
- •П. 2. Формулы Бернулли.
- •Решение.
- •Решение.
- •Замечания.
- •Решение.
- •П. 3. Предельные теоремы в схеме Бернулли
- •Решение.
- •Решение.
- •Доказательство.
- •Решение.
- •П. 4. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях
- •Решение.
- •§ 7. Случайные величины п. 1. Основные определения
- •П. 2. Законы распределения случайных величин. Законы распределения дискретных случайных величин. Функция распределения
- •Формы закона распределения дсв.
- •Решение.
- •Решение.
- •3. Функция распределения – универсальный закон распределения (для дсв и нсв).
- •Свойства f(X).
- •Доказательство.
- •Графики функции распределения.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Плотность распределения вероятностей нсв
- •Свойства плотности распределения
- •2. Условие нормировки: интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен 1: . (4) Доказательство
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Числовые характеристики случайных величин, их роль и назначение
- •Пп 1. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана)
- •1. Математическое ожидание или среднее значение случайной величины
- •2. Мода случайной величины
- •3. Медиана случайной величины
- •Пп 2. Моменты
- •Доказательство.
- •И эксцесс
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин: биномиальный, Пуассона, гипергеометрический. Пп 1. Биномиальное распределение
- •Решение.
- •Пп 2. Распределение Пуассона
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп 3. Гипергеометрическое распределение
- •Решение.
- •П. 6. Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин: равномерный, показательный, нормальный Пп 1. Равномерное распределение или закон равномерной плотности
- •Решение.
- •Пп 2. Показательное или экспоненциальное распределение
- •Решение.
- •Пп 3. Нормальный закон распределения
- •Смысл параметров m и σ
- •Решение.
- •§ 8. Системы случайных величин или случайные векторы п. 1. Основные понятия.
- •П. 2. Законы распределения свдт и свнт
- •Закон. Таблица распределения – закон распределения свдт.
- •Решение.
- •Решение.
- •Закон. Функция распределения – закон распределения свдт и свнт.
- •Решение.
- •3. Плотность распределения (для свнт)
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему. Равномерное и нормальное распределения. Условные законы распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Числовые характеристики системы. Корреляция. Линии регрессии
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •§ 9. Закон больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей
Теория вероятностей
§ 1. Предмет теории вероятностей
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
Определение 1. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.
Примеры случайных явлений.
Вес тела, узнаваемый с помощью весов (одно и то же тело взвешивают на одних и тех же весах несколько раз). Результаты различны вследствие влияния второстепенных факторов: положение тела на чаше весов, вибрации аппаратуры, ошибки отсчета показаний прибора…
Попадание в цель бомбы, сброшенной с самолета (сброс несколько раз с одного положения в одну и ту же цель). Результаты различны вследствие влияния второстепенных факторов: сила ветра, человеческий фактор…
Из примеров видно, что случайные явления неопределенны и многопричинны. Основные условия опыта – неизменны, а второстепенные изменяются от опыта к опыту и вносят случайные различия в результаты.
В классической схеме исследования (математике, физике, механике, технике) этими случайными элементами пренебрегают, рассматривая вместо реального события его упрощенную «модель». Но существуют задачи, в которых второстепенные факторы играют заметную роль (например, точечное попадание в цель). Для решения таких задач существуют вероятностные или статистические методы исследования, базой которых служит устойчивость массовых случайных явлений. Действительно, если наблюдать в совокупности массы однородных случайных явлений (чем больше – тем лучше), то обнаруживается закономерность, устойчивость, свойственная именно массовым случайным явлениям.
Эти методы являются дополнением к классическим.
Определение 2. Любой наблюдаемый результат опыта, то есть всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, называется случайным событием или случайным исходом.
Обозначение: А = {…}.
Примеры случайных событий. 1) Опыт состоит в бросании монеты. Событие А ={появление орла}. 2) Событие В = {обрыв нити в течение часа работы швейной машины}. 3) Событие С = {попадание в цель при выстреле}.
Определение 3. Предметом теории вероятностей являются модели неоднократно повторяемых при неизменном комплексе условий экспериментов со случайными исходами.
§ 2. Случайные события или исходы. Множество элементарных событий. Основные понятия
Случайное событие может быть разложено на более простые, например, выпадение орла при бросании монеты, попадание в определенную точку при стрельбе, выпадение определенной грани при бросании кубика.
Определение 4. Неразложимые события или взаимно исключающие друг друга исходы называются элементарными событиями или элементарными исходами и обозначаются ω.
События отождествляются с множествами.
Определение 5. Совокупность всех элементарных событий называется пространством элементарных событий или множеством элементарных событий и обозначается Ω.
Ω = { ω1, ω2,…, ωn }.
У опыта может быть n исходов: ω1, или ω2 и т.д., или ωn. Результатом опыта является один и только один исход.
Событие А – множество всех элементарных событий из множества Ω, в результате которых и может наступить событие А. Например, А = {ω1, ω4}. Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает один из исходов.
Любое подмножество множества Ω - событие, даже и ненаблюдаемое.
Множество Ω может быть 1) дискретным (конечное или счетное множество), 2) непрерывным (множества типа континуума: любой конечный или бесконечный интервал на числовой прямой), 3) иметь более сложную структуру.