Графики функции распределения.
1. Для ДСВ функция распределения F(x) = .
К
огда
текущая переменная х проходит через
какое-нибудь из возможных значений ДСВ
Х, функция распределения F(x)
меняется скачкообразно, причем величина
скачка равна вероятности этого значения.
Таким образом, F(x)
любой ДСВ – разрывная ступенчатая
функция, скачки которой происходят в
точках, соответствующих возможным
значениям СВ и равны вероятностям этих
значений. Сумма всех скачков равна 1.
2. Для НСВ функция распределения – непрерывная функция во всех точках и заключенная между нулем и единицей (следует из свойств).
Замечание.
Если для ДСВ увеличить число возможных значений и уменьшить интервалы между ними, то число скачков будет больше, а сами скачки меньше, следовательно, ступенчатая кривая становится более плавной, ДСВ постепенно приближается к НСВ, а ее функция распределения – к непрерывной функции распределения.
3. Можно построить примеры СВ, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых F(x) не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит разрыв. Такие СВ называются смешанными.
График F(x) в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки.
Пример 1. (Ранее рассматривали задачу, п.2, пример 2)
Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. Построить функцию распределения числа попаданий. Найти вероятность того, что будет а) меньше 2 попаданий, b) не больше двух попаданий, с) больше одного попадания, d) число попаданий будет либо 1, либо 2.
Решение.
Ранее мы построили ряд распределения числа попаданий. Ряд распределения имеет вид:
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
pi |
0,216 |
0,432 |
0,288 |
0,064 |
Это ДСВ, следовательно, функция распределения находится по формуле: F(x) = .
1) при
,
F(x)
=
.
2) при
F(x)
=
.
3) при
F(x)
=
.
4) при
F(x)
=
.
5) при
F(x)
=
.
Найдем вероятность того, что будет а) меньше 2 попаданий, b) не больше двух попаданий, с) больше одного попадания, d) число попаданий будет либо 1, либо 2.
а)
(по
определению функции распределения) =
b)
с)
d)
Пример 2. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:
Найти коэффициент а. Определить
вероятность того, что СВ Х в результате
опыта примет значение на участке а)
(1; 2), b)[1; 2].
Решение.
Т. к. Х – НСВ, то F(x) – непрерывная функция, следовательно, при х = 3 должно выполняться равенство, что F(x) = 1, т. е.
а(х – 1)2 = 1
а(3 – 1)2 = 1
4а = 1
.
Найдем вероятность того, что Х в результате опыта примет значение на участке (1; 2):
.
Найдем вероятность того, что Х в результате опыта примет значение на участке [1; 2]:
(т.к. СВ – непрерывная, то)
.
Замечание. Функция распределения F(x) случайной величины является ее исчерпывающей вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения СВ в в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения НСВ в окрестностях различных точек дается другой функцией – плотностью распределения вероятности.