28 Билет

1. Метод уравнений Кирхгофа.

Для электрических цепей с большим число ветвей применение методов наложения и эквивалентных источников становится неэффективным. Универсальным методом анализа является использование законов Кирхгофа.

1-й закон Кирхгофа устанавливает взаимосвязь токов для любого узла. И поскольку в любой электрической цепи, состоящей из p-ветвей и q-узлов, число независимых узлов m=q-1, то число линейно независимых уравнений, составленных по 1-му закону Кирхгофа, также равно m.

2-ой закон Кирхгофа устанавливает взаимосвязь напряжений в любом контуре цепи. Число независимых контуров n=p–m будет определять число линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Тогда общее число линейно независимых уравнений, составленных по двум законам Кирхгофа: p= m + n, то есть соответствует общему числу неизвестных токов во всех ветвях. При этом направления токов в ветвях и обхода контуров выбираются произвольно. Так, для мостовой схемы типа «конверт»: p = 6; q = 4; m = q – 1 = 3; n = p – m = 3; получим две системы уравнений:

П о закону Ома для любой к-ветви:

U_k = i_kR_k. Подставляя эти соотношения в получим 6 уравнений для токов, решив которые, можно определить токи и напряжения во всех ветвях. Так как решение системы из шести уравнений достаточно трудоемко, такие задачи удобнее выполнять на ЭВМ. Для этого полученное уравнение форматируют, то есть приводят к матричной форме.

Составим редуцированную матрицу соединений для узлов 1-3:

Тогда система уравнений (21) для токов в матричной форме примет вид:

.

При этом наличие в активной линейной цепи источников тока учитывается как отдельные ветви в редуцированной матрице соединений и дополнительные строки в матрице-столбце токов.

Перепишем уравнения для напряжений в контурах из (21) в виде:

.

Для этой системы, аналогично редуцированной матрице соединений, можно записать матрицу контуров N, состоящей из n-строк по числу независимых контуров и p- столбцов по количеству ветвей; при этом на пересечении i-ой строки и j-го столбца будут находиться:

+1, если направление тока в j-ой ветви i-го контура совпадает с направлением обхода;

-1, если направления противоположны;

0, если j-я ветвь в этот контур не входит.

Если в j-ой ветви имеется источник ЭДС, то напряжение этой ветви:

, причем знак «-» ставится при совпадении направлений ЭДС источника и падения напряжения ветви, а знак «+» при противоположных направлениях. Так, в данной схеме: для 1-го контура ; для 2-го контура . Тогда редуцированная матрица контуров и соответствующая система уравнений будут иметь вид:

; .

2. Линейные динамические системы. Частотный коэффициент передачи линейной динамической системы.

Линейными динамическими системами называются системы, обладающие следующим свойством: сигнал на их выходе определяется не только величиной входного сигнала в рассматриваемый момент времени, но и всей «предысторией» входного процесса. Иначе говоря, линейная динамическая система обладает некоторой памятью, от характера которой зависят все особенности преобразования входного сигнала.

Для этих систем связь между входными и выходными сигналами устанавливается с помощью дифференциального уравнения:

Именно такой оказывается динамическая связь между мгновенными значениями входного и выходного сигналов в электрической цепи с сосредоточенными параметрами. Если эта цепь линейна и стационарна, то все коэффициенты - постоянные вещественные числа.

Пусть входной сигнал u_вх(t) задан. Тогда правая часть данного уравнения, которую можно обозначить f(t), является известной функцией; и задача анализа поведения системы сводится к проблеме решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (более подробно об этом в классическом методе анализа):

_{Порядок этого уравнения принято называть порядком динамической системы.}

_{Частотный коэффициент передачи линейной динамической системы. Если на вход линейной динамической системы поступает экспоненциальный сигнал вида uвх(t) = exp(jwt), то сигнал на выходе uвых(t)=K(jw)exp(jwt). Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение (6.13), после сокращения на общий экспоненциальный множитель можно определить частотный коэффициент передачи системы:}

_{Итак, частотный коэффициент передачи любой динамической системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, представляет собой дробно-рациональную функцию переменной jw; коэффициенты этой функции совпадают с коэффициентами дифференциального уравнения.}