3. Фнч. Фильтр Чебышева.

Коэффициент передачи мощности ФНЧ при чебышевской аппроксимации задается формулой:К_р(w_н) = 1/ (1 + ² T_n²(w_н)(1), где  < 1 – постоянное число, называемое коэффициентом неравномерности характеристики в полосе пропускания, Т_n(w_н) – многочлен Чебышева n-го порядка, определяемый формулой T_n(x) = cos (n arccos x). Функция T_n(x) при любом n может быть найдена из рекуррентного соотношения:T_n(x) = 2x T_n-1(x) - T_n-2(x), где Т₀(х) = 1 и Т₁(х) = х.

Эти многочлены часто используются в задачах аппроксимации благодаря следующему свойству: среди всех многочленов n-ой степени с одинаковыми коэффициентами при старшей степени аргумента эти многочлены менее всего уклоняются от нуля на интервале -1 < x < 1. В то же время при /x/ >> 1 многочлены Чебышева резко увеличивают свои значения. Асимптотически T_n(x)  2^n-1 xⁿ , /x/ >> 1.

С помощью таких функций можно удачно аппроксимировать идеальную характеристику ФНЧ: из (1) видно, что в пределах полосы пропускания фильтра величина К(р) колеблется от 1 до 1/(1 + ²); при w_н >> 1 фильтр обеспечивает большое ослабление сигнала. – ЧКПМ фильтра Чебышева.

Из графиков частотных характеристик передачи мощности для двух чебышевских фильтров при n = 2 и n = 3 видно, что в полосе пропускания эти функции немонотонны. Величина пульсаций ослабления тем выше, чем больше . Из (1) следует, что увеличение  ведет к большему ослаблению сигналов вне полосы пропускания. Подбором двух параметров n и  можно добиться выполнения исходных условий, предъявляемых к синтезируемому фильтру.

Передаточная функция чебышевского ФНЧ. Из (1) видно, что полюсы коэффициента передачи мощности чебышевского фильтра являются корнями уравнения1 + ² T_n²(р_н) = 0

Метод решения данного уравнения довольно громоздок, поэтому ограничимся его результатами. Сначала необходимо вычислить вспомогательный параметр:

Затем должны быть найдены полюса фильтра Баттерворта того же порядка. Переход к полюсам чебышевского фильтра осуществляется за счет того, что абсцисса каждого полюса фильтра Баттерворта умножается на sh a, а ордината - на ch a. Если полюса фильтра Баттерворта располагаются на единичной окружности, то полюса чебышевского фильтра лежат на эллипсе, уравнение которого в плоскости р_н = _н + jw_н имеет вид:

Получив координаты полюсов, можно записать выражение передаточной функции чебышевского фильтра в виде:

18 Билет

1. Элементы цепей постоянного тока. Конденсатор.

Конденсатор – так же, как и катушка индуктивности, способен накапливать электрическую энергию, но уже в электрическом поле. Может быть линейным и нелинейным (сегнетоэлектрики), для последнего диэлектрическая проницаемость является функцией напряжённости электрического поля и зависит от свойств диэлектрика между обкладками.

При этом - электрическая постоянная; - относительная диэлектрическая проницаемость, определяемая свойствами используемого материала. Для линейных конденсаторов ε_r = const; C = const.

Для нелинейных конденсаторов основными параметрами являются: 1. ;2. .

Основной характеристикой конденсаторов является их кулон-вольтная характеристика:

Основной параметр – емкость, измеряемая в фарадах (Ф) и равная: тогда ток: и напряжение: .Мгновенная мощность емкостного элемента определится как: , т.е. может быть в зависимости от знака напряжения как положительной (накапливается в электрическом поле), так и отрицательной (отдается во внешнюю цепь).Тогда величина запасаемой энергии составит (из (1)): .

Анализируя или (5) и (7), (6) и (8) – выражения для мощностей и энергий – можно обнаружить их подобие и оно называется двойственностью или дуальностью катушки и конденсатора.

Способность отдавать или накапливать энергию в электрическом либо магнитном полях говорит о реактивных (отсюда и название) либо возвращающих свойствах этих элементов.