2. Простейшие разрывные функции и их свойства.

1. Функция включения. Функция Хэвисайда. Единичный скачок.

Исходной для получения этой функции является функция вида:

Рассматривая предельный переход при , получим функцию включения:

Обозначается как .

Функция включения используется для описания моментов резкого (или мгновенного) включения или выключения односторонних или ограниченных во времени сигналов. Она может быть задана относительно любого момента времени, т.е. справедлива при любом временном сдвиге:

.

2. Дельта – функция.

В качестве исходного для дельта-функции используется импульсный сигнал прямоугольной формы с единичной площадью,

который может быть описан при помощи функции включения следующим образом:

;

при этом: .

Р ассматривая предельный переход при , получим и определение дельта-функции:

дельта-функция сосредоточена в одной точке пространства и ее задание справедливо при любом временном сдвиге.

δ-функция представляет собой импульс с бесконечно большой амплитудой, бесконечно малой длительностью и единичной площадью.

Основное свойство δ-функции – «фильтрующее свойство»:

.

Поскольку дельта-функция сосредоточена в одной точке х и равна 0 на всей остальной оси времени, то пределы интегрирования можно свести к малой окрестности этой точки. Тогда подынтегральное выражение будет равно 1 в силу условия единичной площади дельта-функции.

Таким образом, δ-функция «отфильтровывает» значение любой функции в той точке, в которой она существует.

Между функцией включения и δ-функцией существует однозначная связь:

.В силу фильтрующего свойства: ;

где АЧХ = 1, а ФЧХ определяется положением дельта-функции на оси времени и равен произведению wx.

3. Принцип построения активных rc-фильтров.

Принцип создания активного фильтра на базе ОУ заключается в следующем

Пассивная часть устройства представлена в виде шестиполюсника из элементов R и С. Для нахождении передаточной функции данной системы составим Y-матрицу:

I₁ = Y₁₁U₁ + Y₁₂U₂ + Y₁₃U₃ ,

I₂ = Y₂₁U₁ + Y₂₂U₂ + Y₂₃U₃ ,

I₃ = Y₃₁U₁ + Y₃₂U₂ + Y₃₃U₃ .

Если К₀ – коэффициент усиления ОУ, то U₃ = - K₀ U₂. Входная цепь ОУ не потребляет тока (R_vx → ∞, I₂ = 0)

при К₀ >> 1,то K(p) = - Y₂₁ /Y₂₃ .

Передаточная функция активного RC-фильтра зависит от свойств пассивной цепи; коэффициент усиления ОУ и другие его параметры на окончательный результат не влияют. Поэтому создание систем с различными частотными характеристиками сводится к синтезу пассивных RC-цепей по заданным частотным характеристикам.

передаточная функция которого определяется по формуле:

Задача синтеза сводится к подбору проводимостей элементов, которые обеспечивают требуемый вид частотной характеристики. По исходному условию все проводимости Y₁-Y₅ являются либо резисторами, либо конденсаторами с проводимостями Ср. Сопоставляя данную передаточную функцию с классическим видом передаточной функции колебательного звена 2-го порядка, можно определить, что элементы Y₁, Y₃, Y₄ должны быть резисторами, а Y₂ и Y₅ – конденсаторами:

Полюсы передаточной функции при этом будут располагаться в точках: