2. Частотный коэффициент передачи линейной стационарной системы.

Если заданный входной сигнал после преобразования системой остается неизменным с точностью до некоторого числового множителя, то есть выполняется равенство U_вых(t)=ТU_вх(t)=U_вх(t), то U_вх(t) называется собственной функцией оператора Т, а число  (в общем случае комплексное) – его собственным значением.

Комплексный сигнал U_вх(t)=exp(jwt) при любом значении частоты w является собственной функцией линейной стационарной системы. Воспользуемся интегралом Дюамеля и вычислим значение выходного сигнала:

- частотный коэффициетн передачи системы.

Частотный коэффициент передачи и импульсная характеристика линейной стационарной системы связаны между собой преобразованием Фурье, т.е. K(iw) можно рассматривать как спектральную плотность h(t). Поэтому, зная функцию K(iw), можно всегда определить

любую линейную стационарную систему можно рассматривать либо во временной области с помощью ее импульсной и переходной характеристик и интеграла Дюамеля, либо в частотной области, задавая частотный коэффициент передачи системы. В принципе, оба подхода равноценны, и критерием выбора служит удобство получения исходных данных о системе и простота вычислений.

Частотные свойства многомерной линейной системы, имеющей m входов и n выходов, можно описать матрицей частотных коэффициентов передачи:

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики. Функция K(jw) имеет простой физический смысл: если на вход системы поступает гармонический сигнал с известной частотой w и комплексной амплитудой U*_вх, то комплексная амплитуда выходного сигнала U*_вых = K(jw) U*_вх.

В инженерных расчетах часто используют представление частотного коэффициента в показательной форме: K(jw) = /K(jw)/ exp(j_k(w) ).

Вещественные функции являются основными частотными характеристиками любой электронной системы: /K(jw)/ - амплитудно-частотная харaктеристика (АЧХ); _k(w) – фазочастотная характеристика (ФЧХ) системы.

Поскольку импульсная характеристика h(t) обязана быть вещественной, то в силу свойств преобразования Фурье частотный коэффициент передачи физически реализуемой системы должен удовлетворять условию: K(jw) = K*(-jw). Поэтому модуль частотного коэффициента передачи (АЧХ) есть четная, а фазовый угол (ФЧХ) – нечетная функция частоты.

3. Частотный коэффициент передачи согласованного фильтра.

Поскольку импульсная характеристика и частотный коэффициент передачи линейной стационарной системы связаны между собой преобразованием Фурье, на основании формулы:K_согл(jω) = k∫s_вх(t₀-t)e^{- jωt} dt.

Введя новую переменную интегрирования τ = t₀-t, получаем: K_согл(jω) = - k exp(-jωt₀) ∫ s_вх(τ) exp(jωτ) dτ = - k exp(- jωt₀) ∫ s_вх(τ) exp(jωτ) dτ = - k S_вх^*(ω) exp(- jωt₀)

АЧХ (условие баланса амплитуд): ;

ФЧХ (условие баланса (компенсации) начальных фаз):

Коэффициент к при этом должен иметь размерность, обратную спектральной плотности входного сигнала, в тех случаях, когда частотный коэффициент передачи фильтра (его передаточная функция) является безразмерной величиной.

Частотный коэффициент передачи согласованного фильтра выражается через спектральную плотность полезного сигнала, для выражения которого этот фильтр предназначен. Множитель пропорциональности k определяет уровень усиления, вносимого фильтром. Значение момента времени t₀ входит лишь в выражение фазовой характеристики фильтра. При этом сомножитель exp(-јωt₀) описывает смещение выходного отклика фильтра по оси времени на величину t₀.