14 Билет

1. Распределение энергии в спектрах периодических сигналов.

Пусть колебание s(t) (ток, напряжение) представляет собой сложную периодическую функцию времени с периодом Т. Энергия такого колебания, длящегося от t = - до t = , бесконечно велика, поэтому основной интерес представляет средняя мощность периодического колебания и распределение этой мощности между отдельными гармониками. Очевидно, что средняя мощность колебания, рассматриваемого на всей оси времени, совпадает с мощностью, средней за один период Т. Поэтому можно использовать формулу средней за период мощности , тригонометрический ортогональный базис и с учетом того, что c₀ = a₀/2 =А₀; c_n= A_n/2; интервал ортогональности – Т и норма базисных функций - Т^1/2, можно получить:

Если s(t) представляет собой ток i(t), то при прохождении его через сопротивление r выделяется мощность (средняя): где I₀ = a₀/2 – постоянная составляющая, а I_n = A_n – амплитуда n-й гармоники тока i(t).

Итак, полная мощность равна сумме средних мощностей, выделяемых отдельно постоянной составляющей I₀ и гармониками с амплитудами I₁, I₂, ... . При этом можно определить мощность каждой из них в отдельности:

Это означает, что средняя мощность не зависит от фаз отдельных гармоник. Тогда энергия сигнала за период определится как Е = Р_ср *Т.

Для получения выражения, определяющего распределение энергии в спектре непериодического колебания, целесообразно воспользоваться результатами, полученными для произведения двух сигналов, а именно выражением (2.39.1). Если u(t) и v(t) представляют собой одно и то же колебание u(t) = v(t) = s(t), то интеграл, определяющий спектральную плотность произведения двух сигналов (2.37)

представляет собой полную энергию колебания s(t), а произведение спектральных плотностей (в частном случае при w = 0, поскольку сдвиг между сигналами по частоте в силу их идентичности равен нулю) из интеграла свертки (2.38)

где S(w) – модуль спектра колебания s(t).

Таким образом, можно получить окончательный результат:

(2.41)

Это важное соотношение, устанавливающее связь между энергией колебания (при сопротивлении 1 Ом) и модулем его спектральной плотности, известно под названием равенства Парсеваля. Между выражениями (2.40) и (2.41) имеется существенное различие. В первом случае речь идет о средней мощности периодического колебания, где усреднение осуществляется делением энергии отрезка колебания за один период на величину Т. В случае же непериодического колебания конечной длительности усреднение энергии за бесконечно большой период дает нуль, и, следовательно, средняя мощность такого колебания равна нулю. Из выражения (2.41) видно, что величину S²(w), имеющую смысл энергии, приходящейся на единицу полосы частот, можно рассматривать как спектральную плотность энергии колебания.

2. Идеальный трансформатор.

Индуктивно связанные катушки без потерь (R₁=R₂=0) при коэффициенте индуктивной связи К_М=1 ( ) называют совершенным (идеальным) трансформатором.

Трансформатор в общем смысле – это статическое электромагнитное устройство, предназначенное для преобразования посредством магнитного поля электрической энергии переменного тока одного напряжения в электрическую энергию переменного тока другого напряжения при неизменной частоте.

Полная взаимосвязь катушек ( ) достигается при отсутствии внутренних потерь, отсутствии потоков рассеяния ( ), т.е. полной передаче магнитного потока от одной катушки к другой. Тогда магнитные потоки самоиндукции равны магнитным потокам взаимоиндукции: Ф₁₁ = Ф₁₂ и Ф₂₂ = Ф₂₁; т.е. создаваемые в катушках магнитные потоки одинаковы (взаимно компенсируются) и равны общему потоку: Ф₁₁ + Ф₂₁ = Ф₂₂ + Ф₁₂ = Ф.

С ледовательно, ψ₁ = W₁Ф и ψ₂ = W₂Ф. Поскольку

и , то отношение напряжений, равное отношению числа витков вторичной и первичной катушек, называют коэффициентом трансформации:u₂/u₁ = W₂/W₁ = n.

Отсутствие потерь в трансформаторе выражается в равенстве мгновенных мощностей в каждой из катушек, т.е. выполняется их баланс: u₁i₁ = u₂i₂, тогда:u₂/u₁ = i₁/i₂ = n. (*)

Если п > 1, трансформатор называется повышающим; если п < 1, то понижающим. Повышение напряжения с помощью трансформаторов используется в линиях электропередачи для снижения величины тока в линии и соответствующего снижения необходимой площади поперечного сечения проводов.

Отношение u₁/i₁ является входным сопротивлением трансформатора R_вх, а отношение выходного напряжения и тока u₂/i₂ равно сопротивлению нагрузки R_H. Тогда из (*) получим:

Таким образом, трансформатор преобразует не только величины напряжения и тока, но и величины сопротивления нагрузки, т.е. является трансформатором (конвертером) сопротивлений, что широко используется на практике для согласования источника и нагрузки. Реальный трансформатор (с потерями) приближается к идеальному при использовании сердечников из магнитомягких материалов (ферромагнетиков), обеспечивающих концентрацию магнитного потока в сердечнике и практическое отсутствие потока рассеяния. Но при этом появляются дополнительные потери на гистерезис и вихревые потоки в сердечнике.