7.2. Теплові діаграми.

Ентропію можна застосовувати разом з одним з основних параметрів для графічного зображення процесів. Зручніше за все ентропію сполучати з абсолютною температурою Т. Якщо ентропію відкладати по осі абсцис, а абсолютну температуру-по осі ординат, то одержуємо координатну систему Тs, тобто Тs – діаграму, де стан газу графічно зобразиться точкою, а процес - у вигляді кривої, рівняння якої можна представити як Т = f (s).

Елементарна теплота процесу зобразиться на діаграмі елементарною площадкою, висота якої дорівнює T, а основа ds (мал.6-2). Величина площі під кривою оборотного процесу 1-3-2 зображує в деякому масштабі теплоту, що підводиться в цьому процесі = пл. 513265 =

На Ts-діаграмі площа, обмежена лінією процесу, крайніми ординатами й віссю s, у деякому масштабі зображує теплоту, що бере участь у процесі.

З рівняння dq = Tds слідує, що dq і ds мають однакові знаки. Якщо в процесі ентропії s збільшується, то теплота до газу підводиться. Якщо ентропія s зменшується, то це вказує на відвід теплоти від робочого тіла.

Оборотний круговий процес на Ts-діаграмі зображується пл. 13241.

Різниця між підведеною й відведеною теплотою, відповідно до першого закону термодинаміки, являє собою корисну зовнішню роботу, що здійснює 1 кг робочого тіла при круговому оборотному процесі над зовнішнім об'єктом роботи:

Таким чином, на Ts-Діаграмі питома робота тіла (1 кг) при оборотному круговому процесі чисельно дорівнює площі усередині замкнутої лінії циклу й дає наочне уявлення про зміну температури робочого тіла.

Для ідеальних газів умовно прийнято вважати ентропію рівною нулю при нормальних фізичних умовах.

На закінчення необхідно відзначити, що введення поняття ентропії було зроблено поки стосовно ідеального газу, і всі твердження щодо властивостей ентропії не можуть поки бути обґрунтовано поширені й на реальні гази. Однак, як буде показано далі, поняття ентропії може бути встановлене досить точно незалежно від властивостей робочого тіла. Поки ж цей параметр буде використаний як досить зручний при аналізі процесів ідеального газу.

8.1. Внутрішня енергія, ентальпія й ентропія ідеального газу.

Ідеальним газом називається такий, між молекулами якого не існує силової взаємодії, а самі молекули не мають ні об'єму, ні маси (див. п. 5.4.1.).

З термічного рівняння стану ідеального газу (див. п. 6.1.1.) pV = RT одержують похідні:

між якими має місце співвідношення

Основною термодинамічною властивістю ідеального газу є незалежність його внутрішньої енергії від об'єму. Ця властивість, як уже відзначено в п. 5.4.3., виявлена Джоулем дослідним шляхом при розширенні газу в порожнечу. Досліди провадилися за допомогою двох посудин, з'єднаних трубкою із краном, які поміщалися в ящик з хорошою термоізоляцією. В одній з посудин був досліджуваний газ, а в іншому створювався вакуум. При відкритті крана газ із першої посудини перетікав у другий доти, поки не встановлювався стан рівноваги. Ці досліди показали, що температура газу при його перетіканні з однієї посудини в іншу і розширенні в межах обраної системи залишається незмінною. Співвідношення для диференціала внутрішньої енергії як функції незалежних змінних v і T

у цьому випадку показує, що при dТ = 0 du = (du/dv)_T dv .

Оскільки питомий об'єм газу в розглянутому процесі змінювався (dv ≠0), то (du/dv)_T = 0 і, отже, внутрішня енергія від об'єму при постійній температурі не залежить.

Можна також показати, що внутрішня енергія ідеального газу не залежить і від тиску: (du/dp)_Т = 0. Із цією метою похідну (du/dp)_Т доцільно представити у вигляді добутку: (du/dp)_T = (du/dv)_T (dv/dp)_T.

Третє співвідношення (180) показує, що (dv/dp)_T ≠ 0. Оскільки (du/dv)_T = 0, то (du/dp)_T = 0.

Таким чином, питома внутрішня анергія ідеального газу не залежить ні від об'єму, ні від тиску і є однозначною функцією температури и = и (T).

Урахування цієї властивості ідеального газу показує, що ентальпія також є однозначною функцією температури. Дійсно, оскільки i = u + pv = u + RT, тому для ідеального газу

і = і(T).

Урахування другого співвідношення (180) у рівняннях

дозволяє визначити при незалежних змінних v і Т зміну питомої внутрішньої енергії ідеального газу

⁽¹⁸⁴⁾

і зміну питомої ентропії

⁽¹⁸⁵⁾

Якщо в якості незалежних змінних вибрати р і Т, то у відповідності з першим співвідношенням (180) рівняння

дозволяють визначити зміну ентальпії ідеального газу

⁽¹⁸⁶⁾

і зміну ентропії

⁽¹⁸⁷⁾

Таким чином, зміни внутрішньої енергії й ентальпії ідеального газу при обраних вище незалежних змінних визначаються питомими теплоємностями систем відповідно при v = const і p = const.

8.2. Теплоємність ідеального газу при v = const и p = const

За визначенням теплоємність при постійному об'ємі дорівнює відношенню кількості теплоти dq_v у процесі при постійному об'ємі до зміни температури dТ тіла,

с_v = dq_v/dТ, ( 6-3)

і теплоємність при постійному тиску дорівнює відношенню кількості теплоти dq_p у процесі при постійному тиску до зміни температури dТ тіла

с_Р = dq/dТ. ( 6-4)

При рівноважному процесі нагрівання тіла елементарна кількість теплоти відповідно до першого початку термодинаміки

dq = du + pdv, ( 6-5)

dq = dі – vdp. ( 6-6)

Тоді для процесу при постійному об'ємі (dv = 0) du = с_v dТ , звідки

c_v = du/dТ,

тобто теплоємність c_v при v = const дорівнює похідній від внутрішньої енергії и (розглянутої як функція Т и v) по температурі Т.

Для процесу при постійному тиску (dр = 0) dі = с_Р dТ, звідки

с_Р = dі/dТ,

тобто теплоємність c_р при р = const дорівнює похідній від ентальпії і (розглянутої як функція Т и р) по температурі Т.

Таким чином, c_v і c_р ідеального газу не залежать ні від об'єму, ні від тиску, а являються однозначними функціями температури

c_v = c_v(T); c_р = c_р (T).