1.2. Число степеней свободы механизма

Это одно из важнейших структурных понятий. Ранее для него применялся термин “подвижность” механизма. По физическому смыслу это количество независимых движений, которые могут совершать звенья механизма. Каждой степени свободы соответствует своя обобщённая координата, т.е. число степеней свободы равно количеству обобщенных координат.

Число степеней свободы пространственных механизмоввычисляется по формуле Сомова-Малышева [1, 9, 14, 18]:

(1.1)

где n– количество подвижных звеньев в механизме,p_k– количество кинематических парk-го класса.

Формула (1.1) получена умозрительно. Действительно, 6n– это общее количество степеней свободы, которые имели быnзвеньев, будучи свободными, аk^.p_k– это количество степеней свободы, которые отнимают кинематические парыk-го класса,– общее количество степеней свободы, которые отнимают все кинематические пары.

Пример. У механизма на рис. 1.2г четыре подвижных звена и четыре кинематические пары 5-го класса, следовательно, W = 6^.4 – 5^.4 = 4. Обобщенными координатами этого механизма являются параметры относительного положения звеньев ₁, ₂, S₃, ₄. И все эти движения могут происходить независимо друг от друга.

Число степеней свободы плоских механизмоввычисляется по формуле Чебышева [1, 9, 14, 18]:

(1.2)

где p_Н– количество низших,p_В– количество высших кинематических пар.

В плоских механизмах кинематические пары 5-го класса всегда низшие, а 4-го класса всегда высшие. Этим и объясняется второе равенство в формуле (1.2).

Пример. У механизма на рис. 1.2д три подвижных звена и четыре кинематические пары 5-го класса, следовательно W = 3^.3 – 2^.4 = 1. Обобщенной координатой является угол поворота ₁ звена 1. В этом механизме независимым будет только вращение звена 1.

Следует иметь ввиду, что формулы (1.1) и (1.2) справедливы только для механизмов без пассивных связей.Пассивная связь– это, как правило, звено, удаление которого из механизма не влияет на его кинематику, то есть с точки зрения кинематики оставшиеся звенья будут совершать те же движения. Подобные звенья вводят в механизм для увеличения его прочности или жесткости. Пример механизма с пассивной связью представлен на рис. 1.3. Очевидно, что удаление звена 4 не повлияет на характер движения звеньев 1, 2, 3. Однако, это справедливо не для любого сочетания размеров звеньев, а лишь тогда, когдаl₁ = l₃, l₂ = l₄. Поэтому, непосредственное применение формулы (1.2) к этому механизму дает результат: W = 3^.4 – 2^.6 = 0.

Таким образом, прежде, чем применять формулы (1.1), (1.2) следует из механизма условно удалить все пассивные связи. В литературе можно встретить более сложные формулы для вычисления числа степеней свободы, в которые входят слагаемые, учитывающие пассивные связи. Однако использование этих зависимостей все равно требует предварительной диагностики того, какие связи являются пассивными.

1.3. Структурные группы

Это понятие впервые было введено в начале 20 века русским ученым Ассуром. Поэтому структурные группы часто называют группами Ассура. По определению структурной группой называется кинематическая цепь, которая будучи своими внешними кинематическими парами установлена на стойку имеет число степеней свободы W = 0. В дальнейшем эти понятия были развиты И.И. Артоболевским, поэтому классификацию, которой далее мы будем использовать, обычно называют классификацией Ассура-Артоболевского.

По данной классификации структурной группе приписывают класс и порядок. Классом структурной группы считается количество кинематических пар во внутреннем контуре группы. Порядком – считается количество кинематических пар, которыми она присоединяется к остальному механизму. На рис. 1.4 дан пример структурной группы 3-го класса 3-го порядка. Здесь звенья 4, 5, 6 образуют внутренний контур, в котором три кинематические пары. К остальному механизму данная группа присоединяется тремя шарнирами: A,B,C.

К недостаткам данной классификации можно отнести то, что структурные группы, которым приписывается 2-й класс, 2-й порядок не имеют ярко выраженного признака второго класса. На рис. 1.5 показаны все виды таких групп.

К механизму эти группы присоединяются внешними кинематическими парами.

При структурном анализе механизма ему присваивают класс равный наивысшему классу входящей в него структурной группы. Здесь мы будем рассматривать только плоские рычажные механизмы 2-го класса 2-го порядка. Они являются наиболее простым, но широко применяемым видом рычажных механизмов. Их структура легко поддается классификации, для них удается получить аналитическое решение задачи кинематического анализа.

На рис. 1.6 дан пример структурного анализа механизма. На рис. 1.6а изображен шестизвенный, плоский рычажный механизм. Структурно он делится на входное звено – кривошип ОА (рис. 1.6б) имеющее число степеней свободыW= 1 и две структурные группы 2-го класса, 2-го порядка (рис. 1.6 в, г).