5.4. Определение реакций в кинематических парах структурных групп

В соответствии с общим порядком силового анализа, описанным в п. 5.2 после расчета внешних сил составляют уравнения равновесия структурных групп, решением которых и определяются искомые реакции.

Изображения структурных групп здесь будут упрощенными, т.к. при формировании уравнений равновесия в общем виде мы будем оперировать значениями координат кинематических пар и точек приложения сил. Эти величины определяются методами кинематики, рассмотренными в гл. 2 и здесь важна не конфигурация звеньев, а знание расположения этих точек.

5.4.1. Аналитическое решение

При составлении уравнений равновесия будем предполагать, что все внешние силы, действующие на каждое i-е звено приведены к главному вектору F_i, приложенному в центре масс Si и главному моменту M_i. Индексация реакций: R_ij – реакция со стороны i-го звена на j-е. Индексация звеньев принята такой же, как при кинематическом анализе в главе 2, звенья структурных групп имеют номера 2 и 3; звено 1 – то, с которым звено 2 образует кинематическую пару “A”; звено 4 – то, с которым звено 3 образует кинематическую пару “C”.

Обратите внимание, для трехшарнирной и кулисных структурных групп решение будет получено сразу в НСК ОX₀Y₀, а для остальных – в НСК ОXY, повернутой так, чтобы ось X была параллельна выходному ползуну. Это связано с тем, что для этих групп уравнения равновесия в такой системе координат записываются и решаются намного проще, чем в НСК ОX₀Y₀, ну а преобразовать результаты из одной НСК в другую не составляет труда.

5.4.1.1. Трёхшарнирная структурная группа

Расчетная схема для структурной группы с тремя вращательными кинематическими парами представлена на рис. 5.4.

Уравнение равновесия структурной группы в целом в виде равенства нулю суммы всех сил, на нее действующих:

или в проекциях на оси НСК OX₀Y₀:

R_12x + F_2x + F_3x + R_43x = 0;

( 5.4 )

R_12y + F_2y + F_3y + R_43y = 0.

Равновесие шатуна 2 в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки В:

–R_12x (y_A – y_B) + R_12y (x_A – x_B) – F_2x (y_S2 – y_B) + F_2y (x_S2 – x_B) = 0. ( 5.5 )

Равновесие звена 3 в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки В:

–R_43x (y_С – y_B) + R_43y (x_С – x_B) – F_3x (y_S3 – y_B) + F_3y (x_S3 – x_B) = 0. ( 5.6 )

Уравнения (5.4), (5.5), (5.6) образуют линейную алгебраическую систему относительно неизвестных R_12x, R_12y, R_43x, R_43y, которая легко решается.

Для определения реакции R₂₃ в шарнире B теперь достаточно рассмотреть, равновесие звена 3:

R_23x = – F_3x – R_43x;

( 5.7 )

R_23y = – F_3y – R_43y.

Полные величины реакций:

5.4.1.2. Структурная группа "шатун – ползун"

Расчетная схема для структурной группы данного вида представлена на рис. 5.5. Реакции в направляющих ползуна зависят от его конструкции. Имеется два основных случая:

1. Реакции перемещаются по направляющим вместе с ползуном. В этом случае рабочие длины l₁, l₂ являются конструктивными параметрами (см. рис. 5.5а, 5.5в).

2. Реакции приложены в неподвижных опорах. В этом случае рабочие длины l₁, l₂ необходимо определять в процессе кинематического анализа механизма (см. рис. 5.5б).

Но в обоих случаях величины l₁, l₂ для силового расчета можно считать известными.

В данном случае решение удобно получить в НСК OXY, ось X которой параллельна оси ползуна. Уравнение равновесия структурной группы в целом в виде равенства нулю суммы всех сил, а нее действующих:

или в проекциях на оси НСК OXY:

R_12x + F_2x + F_3x = 0;

( 5.8 )

R_12y + F_2y + F_3y + R₄₃⁽¹⁾ + R₄₃⁽²⁾ = 0.

Из первого уравнения системы (3.8) сразу определяется составляющая R_12x. Равновесие шатуна 2 в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки В:

–R_12x (y_A – y_B) + R_12y (x_A – x_B) – F_2x (y_S2 – y_B) + F_2y (x_S2 – x_B) = 0. ( 5.9 )

Отсюда находим R_12y.

Для определения реакций R₄₃⁽¹⁾, R₄₃⁽²⁾ составим систему уравнений, первое из которых отражает равновесие ползуна 3 в виде равенства нулю суммы проекций всех сил на ось Y, а второе – равенство нулю суммы моментов всех сил относительно точки В:

F_3y + R₄₃⁽¹⁾ + R₄₃⁽²⁾ = 0;

( 5.10 )

–R₄₃⁽¹⁾ l₁ + R₄₃⁽²⁾ l₂ – F_3x (y_S3 – y_B) + F_3y (x_S3 – x_B) = 0.

Длины l₁, l₂ надо подставлять с учетом знака, на рис. 5.5 показаны направления, которые считаются положительными.

Для определения реакции R₃₂ в шарнире В достаточно рассмотреть, равновесие шатуна 2 в виде равенства нулю суммы всех сил, на него действующих:

R_32x = – F_2x – R_12x;

( 5.11 )

R_32y = – F_2y – R_12y.

Полные величины реакций: