3.7.3. Механизмы с коромыслом и роликом

Схема такого механизма представлена на рис. 3.1а. Для этих механизмов основными геометрическими параметрами являются: или пара (R_O, L) или пара (R_O, l_к), где R_O – радиус базовой окружности кулачка, L – межцентровое расстояние (между центром вращения кулачка и центром качания коромысла), l_к – длина коромысла. Также, как для механизмов с толкателем и роликом или с заостренным толкателем здесь основные геометрические параметры определяют из условия ограничения угла давления  [1, 14, 18]. Для механизмов рассматриваемого типа его предельно допускаемая величина обычно []  45 … 50^o. Превышение этих значений приводит к заклиниванию механизма, а условием незаклинивания является   [] для любого положения механизма.

Сначала так же, как для механизмов с толкателем, найдем связь между углом давления и основными геометрическими параметрами.

На рис. 3.12 представлена расчетная схема. Найдем полюс зацепления P на пересечении нормали к профилю кулачка n-n, и линии центров ОО₁.

По оси коромысла О₁A в масштабе чертежа отложим величину аналога скорости точки A:

( 3.15 )

где  = _О +  – угол поворота коромысла, отсчитываемый от линии центров ОО₁,  – угол поворота коромысла, отсчитываемый от положения, соответствующего фазе ближнего выстоя,  – угол поворота кулачка.

Проведем под углом передачи  луч до пересечения с линией центров. По определению углов давления и передачи в точке пересечения должна находиться ось вращения кулачка. Из построенного таким образом ОО₁E со сторонами

ОО₁ = L

О₁E = l_к + s₂’ = l_к (1 + ’)

по теореме синусов найдем:

( 3.16 )

Заметим, что угол давления  зависит от соотношения l_к /L, от  и ’. При заданном законе движения коромысла величины  и ’ для каждого положения известны. Кроме того, отметим, что если центр вращения кулачка на рис. 3.12 сместить в любую точку ниже прямой OE, то угол передачи увеличится, а угол давления соответственно уменьшится.

В выражениях (3.16) в явном виде нет такого параметра как радиус базовой окружности кулачка R_О. Но в неявном виде он там присутствует, т.к. угол  зависит от угла _О, а тот в свою очередь связан с R_О соотношением, определяемым из ОО₁A_О по теореме косинусов:

R_О² = l_к² + L² – 2 l_к L cos _О ( 3.17 )

Таким образом, выражения (3.16) и (3.17) дают связь угла давления с основными геометрическими параметрами рассматриваемого механизма. В отличие от случая механизма с толкателем, рассмотренного в подразделе 3.6 здесь не удается получить столь явную и удобную форму этой связи, но полученные результаты позволят построить методику определения параметров механизма, обеспечивающих его незаклинивание.

На рис. 3.13 показаны расчетные схемы, с помощью которых можно найти величины R_O и L, такие, что всегда будет выполнено условие не заклинивания   [] [14, 18 ] (рис. 3.13a – для механизмов с геометрическим замыканием, рис. 3.13б – с силовым).

Угловое перемещение коромысла как функцию угла поворота кулачка () и функцию ’() = d/d – аналога угловой скорости коромысла получают так, как это описано в п. 3.2. Величина s₂’ = ’l_к – аналог скорости точки А – конца коромысла – вектор, направление которого определяют, повернув вектор скорости точки А на 90 по направлению вращения кулачка, т.е. линия действия вектора ’l_к совпадает с коромыслом ОА. Откладывая векторы ’l_к от дуги AB – влево для фазы удаления, вправо – для фазы возврата и проведя через концы векторов плавную кривую, получим диаграмму ’l_к ().

Найдем область возможных положений точки О – центра вращения кулачка. Пусть для некоторого угла поворота кулачка _i угол поворота коромысла на фазе удаления _i. Если через точку D_i – конец вектора ’l_к провести прямую - под углом [] = 90 – [] к вектору O_iD_i (см. рис. 4.8), то для данного угла _i - – геометрическое место предельно возможных положений точки O. Если центр вращения кулачка будет располагаться на этой прямой, то в данном положении  = [], если левее, то  < [], если правее, то  > []. Аналогично, для любого j-го положения на фазе возврата для механизма с геометрическим замыканием прямая ₁-₁ определяет геометрическое место предельно возможных положений точки O, но в этом случае  < [], когда центр вращения кулачка правее прямой ₁-₁.

Для механизма с геометрическим замыканием (см. рис. 3.13а), проводя прямые - и ₁-₁ для всех рассматриваемых положений, выбирают такое их сочетание, когда величина AC будет наибольшей; такое сочетание и определит область возможных положений точки О.

Для механизма с силовым замыканием (см. рис. 3.13б), когда угол давления ограничивается лишь на фазе удаления, положение прямой ₁-₁ фиксировано (_j = 0), а варьируется лишь положение -. Этот вариант является частным случаем предыдущего, поэтому рассмотрим вариант механизма с геометрическим замыканием как более общий.

Введем неподвижную систему координат OXY, направление оси X соответствует положению коромысла при  = 0. Если угол поворота коромысла _i на фазе удаления и угол_j на фазе возврата соответствуют предельным положениям прямых - и ₁-₁ (см. рис. 3.13а), то искомые величины R_O, L определяются после вычисления координат x_C, y_C точки C, которые найдем совместным решением уравнений прямых - и ₁-₁.

Уравнение прямой -

y = tg _i (O₁H_i – x), ( 3.18 )

где _i = [] + _i.

Выражая величину O₁H_i через известные параметры, получим

y = l_к (1+ ’_i)( tg _i cos _i – sin _i) – x tg _i. ( 3.19 )

Аналогично, для прямой ₁-₁

y = tg _j (x – O₁H_j);

y = x tg _j – l_к (1+’_j)( tg _j cos _j + sin _j). ( 3.20 )

где _j = [] – _j.

Приравнивая правые части уравнений (3.19) и (3.20), найдем координату x_C точки О:

x_C = l_к [(1+’_i)(tg _i cos _i – sin _i) + (1+’_j)(tg _j cos _j + sin _j)]/(tg _i + tg _j)

( 3.21 )

тогда координата y_C – значение правой части выражения (3.19) при x = x_C .

Точка А имеет координаты А(l_к,0), следовательно,

( 3.22 )

При проектировании кулачковых механизмов возможны ситуации, когда межцентровое расстояние L заранее выбрано из конструктивных соображений. В этом случае необходимо найти такой радиус R_O, который позволил бы сохранить выбранное значение L. Очевидно, что решение будет получено, если найти координаты точек пересечения окружности радиуса L с центром в точке О₁ с прямой - (L < O₁C) или с ₁-₁ (L > O₁C); при этом из двух точек пересечения прямой с окружностью следует выбирать точку с большим значением x. Если прямая и окружность заданы уравнениями y = ax + b; x² + y² = L², то абсциссы x_п1,2 точек их пересечения

( 3.23 )

из двух значений x_п выбираем большее, тогда y_п = ax_п + b. Величины a и b вычисляются в соответствии с выражениями (3.19), (3.20):

( 3.24 )

Радиус базовой окружности в этом случае

( 3.25 )

На практике обычно центр вращения кулачка точку O располагают внутри допустимой зоны (см. рис. 3.13), обеспечивая тем самым некоторый запас по углу давления. Если межцентровое расстояние L заранее не задано, то точку O целесообразно располагать на равном удалении от прямых -, ₁-₁. Расчет её положения аналогичен описанному выше расчету положения точки С, надо лишь параллельно сместить прямые -, ₁-₁ внутрь зоны. Обозначим: K_C  1 – коэффициент запаса. Тогда формулы (3.19) . . . (3.22) примут вид [5]:

y = l_к (K_C+’_i)( tg _i cos _i – sin _i) – x tg _i ,

y = x tg _j – l_к (1/ K_C +’_j)( tg _j cos _j + sin _j), ( 3.26 )

x_O = l_к [(K_C + ’_i)(tg _i cos _i – sin _i) +

+ (1/ K_C + ’_j)(tg _j cos _j + sin _j)] / (tg _i + tg _j),

Таким образом, общая последовательность определения основных, габаритных параметров механизмов с коромыслом и роликом следующая. С достаточно мелким шагом строится диаграмма ’l_к () как это показано на рис. 3.13. Определяется количество точек этой функции, находящихся на фазе удаления – n₁, и на фазе возврата – n₂. Для каждого сочетания i = 1,2, ... n₁, j = 1,2, ... n₂, производятся вычисления по формулам (3.19) … (3.22) и запоминается вариант с наибольшим значением R_Omin. Если межцентровое расстояние L задано конструктивно, то R_O определяют по формулам (3.23) … (3.25). В противном случае R_O и L находят по зависимостям (3.26).

Если значение R_Omin, полученное из условия ограничения угла давления, столь мало, что конструктивно не может быть реализовано, то в качестве R_Omin принимают конструктивно допустимую величину, а L определяют так, чтобы центр вращения кулачка располагался в допустимой зоне.