Тема 2.1. Элементы комбинаторики. Правило суммы и правило произведения. – 4 часа 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Элементы комбинаторики

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности, задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечного множества. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «Сколькими способами?».

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух важных правил, называемых соответственно: правило сложения и правило умножения.

Правило умножения

Если из некоторого конечного множества первый объект (элемент а) можно выбрать n₁ способами, и после каждого такого выбора второй объект (элемент b) можно выбрать n₂ способами, то оба объекта (a и b) в указанном порядке можно выбрать n₁·n₂ способами.

Это правило распространяется на случай трех и более объектов.

Правило сложения (суммы)

Если некоторый объект a можно выбрать n₁ способами, а объект b можно выбрать n₂ способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (a или b), можно выбрать (n₁ + n₂) способами.

Это правило распространяется на любое конечное число элементов.

Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 2.1.

Задача 1-Т2.1. Одновременно бросаются два игральных кубика (игральные кости). Найти вероятность того, что сумма очков: а) равна 1; б) меньше 13; в) меньше 5; г) меньше 10.

Задача 2-Т2.1 (для самостоятельного решения). Если подбросить одновременно три игральные кости, то сколько имеется вариантов – комбинаций выброшенных очков?

Задача 3–Т2.1. В чемпионате по футболу, который проводится по системе «одного круга», участвовало 7 команд. Каждая команда сыграла по одной игре с каждой командой. Сколько всего было игр?

Задача 4-Т2.1. Пусть из пункта А в пункт В имеется 5 дорог, а из пункта В в пункт С – 6 дорог.

1) Сколько существует различных вариантов проезда из А в С?

2) Сколько существует различных вариантов проезда из пункта А в пункт В и обратно?

3) Сколько существует различных вариантов проезда из пункта А в пункт В и обратно при условии, что дороги туда и обратно будут разными?

Задача 5-Т2.1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если

а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?

Задача 6-Т2.1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5 и 7, если а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?

Задача 7-Т2.1 (самостоятельно). В одной из стран автомобильные номера из четырех цифр (нуль может стоять и на первом месте) записываются на пластинках пяти различных цветов, поскольку каждый из пяти штатов этой страны имеет номера своего цвета. Сколько разных пластин с номерами может быть выдано автовладельцам в этой стране?

Задача 8-Т2.1 (самостоятельно). Десять участников конференции обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку другим участникам). Сколько всего карточек было роздано?

Задача 9-Т2.1 (самостоятельно). Десять участников конференции обменялись рукопожатиями, пожав руку каждому. Сколько всего рукопожатий было сделано?

Задача 10-Т2.1. На 10 карточках написаны буквы: А, А, А, А, А, Р, Р, Р, Д, Д. Наугад берется 5 карточек и прикладывается одна к другой слева направо. Какова вероятность того, что случайно будет сложено слово «РАДАР»?

Задача 11-Т2.1. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами для выполнения различных упражнений в парах можно выбрать студентов одного пола?

Задача 12-Т2.1. В ящике лежат шары: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из ящика наудачу вынимают один шар. Определить, какова вероятность, что извлеченный шар окажется цветным.

Задача 13-Т2.1. Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 участвующих в соревновании студентов?

Задача 14–Т2.1. Из колоды в 36 карт наугад последовательно без возвращения вытянуто две карты. Найти вероятность того, что обе они – тузы.

Задача 15-Т2.1. Игральную кость бросают четыре раза. Что более вероятно: то, что шестерка появится хотя бы один раз, или же, что шестерка не появится ни разу?