Вероятность появления рассматриваемого события не менее m раз

Теорема 1. Вероятность того, что при проведении n независимых испытаний событие А наступит хотя бы один раз, вычисляется по формуле:

.

Теорема 2. Вероятность того, что при проведении серии из n независимых испытаний событие А наступит не менее k раз, вычисляется по формуле

.

Отмечу, что вычисление вероятности осуществляется непосредственным суммированием.

Если сумма, стоящая в правой части этого равенства, содержит членов более, чем n/2, то удобнее использовать зависимость между противоположными событиями. Тогда

Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 10. Тема 10. Формула Бернулли Лекция 10

Задача 1-Т10. Монета подбрасывается 4 раза. Какова вероятность того, что при этом все четыре раза выпадет Герб?

Задача 2-Т10. Производится три независимых выстрела по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле постоянна и равна Какова вероятность того, что при этом в мишени будет только одна пробоина?

Задача 3-Т10. Известно, что при каждом взвешивании равновозможна как положительная, так и отрицательная ошибка. Какова вероятность того, что при пяти взвешиваниях получатся три положительные ошибки?

Задача 4-Т10. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при каждом броске составляет 0,4. Что вероятнее ожидать: попадания трех мячей при четырех бросках мяча или попадания четырех мячей при шести бросках мяча, если броски считаются независимыми?

Задача 5-Т10. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность выдержать испытания для каждого элемента составляет 0,9. Найти наивероятнейшее число выдержавших испытание элементов и его вероятность.

Задача 6-Т10. Найти наивероятнейшее число выпадений Решки при

а) 100 бросаниях монеты;

б) 1001 бросании монеты (самостоятельно).

Задача 7-Т10. В цех по ремонту радиоаппаратуры поступают детали с трех заводов в отношении 2:3:5. Мастер для ремонта прибора выбрал наугад 6 деталей. Какова вероятность того, что одна из выбранных деталей изготовлена на первом предприятии, 2 – изготовлены на втором предприятии, 3 – на третьем?

Задача 8-Т10. Найти вероятность того, что в семье, имеющей четырёх детей, будет ровно три мальчика.

Задача 9-Т10. Вероятность солнечной погоды в некоторой местности для каждого дня равна 0,4. Какова вероятность того, что в течение трех дней хотя бы один день будет солнечным?

Задача 10-Т10 (для самостоятельного решения). Стрелок проводит по мишени четыре независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле 0,6. Какова вероятность того, что при этом произойдет не мене трех попаданий?

Семинар 10

Задача 1С-Т10. Вероятность выигрыша лотерейного билета составляет 0,1. Некто покупает 5 лотерейных билетов. Найти вероятности следующих событий:

а) А = {ровно два билета выигрывают},

б) В = {большая часть билетов выигрывает},

с) С = {выигрывает хотя бы два билета}.

Задача 2С-Т10. Победу в волейбольном матче одерживает команда, выигравшая 3 партии. Найти вероятность того, что матч между двумя командами, для которых вероятность выигрыша каждой партии равна соответственно 0,8 и 0,2, будет состоять из 5 партий.

Задача 3С-Т10. Система, составленная из четырёх блоков, работает исправно, если за рассматриваемый период выйдет из строя не более двух блоков. Найти вероятность безотказной работы системы блоков, если отказы блоков являются независимыми событиями и вероятность отказа каждого блока равна 1/8.

Задача 4С-Т10. Монету бросают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом Герб

а) выпадет ровно три раза?

б) выпадет меньше двух раз?

Задача 5С-Т10. Студент пишет контрольную работу по теории вероятностей. У него есть предположение о том, как решить задачу, однако свою способность найти правильное решение он оценивает невысоко – примерно 0,4. Вокруг студента в аудитории сидят пять однокурсников. Можно рискнуть опросить их и принять либо отвергнуть решение на основании большинства голосов. Подготовку этих своих однокурсников студент оценивает так же, как и свою. Как лучше поступить студенту: положиться на свои соображения или на большинство голосов однокурсников?