- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Случайные события
- •Действия над событиями
- •Свойства операций над событиями
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 1. События. Основные операции над событиями Лекция 1
- •Семинар 1
- •Домашнее задание 1 – Тема 1.
- •Свойства относительной частоты
- •Свойства статистической вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Свойства «классической» вероятности
- •Полезный алгоритм
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 2 Лекция 2
- •Семинар 2
- •Домашнее задание 2 – Тема 2.
- •Классическое определение вероятности
- •Домашнее задание 2 – Тема 2.
- •Классическое определение вероятности
- •Тема 2.1. Элементы комбинаторики. Правило суммы и правило произведения. – 4 часа 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Элементы комбинаторики
- •Правило умножения
- •Правило сложения (суммы)
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 2.1.
- •Домашнее задание 2.1 – Тема 2.1 Элементы комбинаторики: Правило Суммы, Правило Произведения
- •Тема 3. Элементы комбинаторики. Понятие о «схеме выбора». Схема выбора без возвращения: Перестановки, Размещения, Сочетания. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Соединения. Виды соединений
- •Перестановки
- •Размещения
- •Сочетания
- •Свойства Сочетаний (биномиальных коэффициентов)
- •Семинар 3
- •Домашнее задание 3 – Тема 3. Элементы комбинаторики: Перестановки, Размещения, Сочетания
- •Тема 4. Элементы комбинаторики. Схема выбора с возвращением: Размещения, Сочетания, Перестановки с повторением – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Размещения с повторениями
- •Сочетания с повторениями
- •Перестановки с повторениями
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 4.
- •Лекция 4
- •Семинар 4
- •Домашнее задание 4 - Тема 4.
- •Тема 5. Геометрическое определение вероятности. Субъективная вероятность. Примеры вычисления вероятностей. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Субъективная вероятность
- •Геометрическое определение вероятности
- •Свойства геометрической вероятности
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 5. Тема 5. Геометрическая вероятность
- •Домашнее задание 5 - Тема 5. Геометрическая вероятность
- •Тема 6. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Вероятность суммы событий. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Независимость событий
- •Тема 6. Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 6 Лекция 6
- •Семинар 6 Дополнительное задание
- •Домашнее задание 6 – Тема 6. Формулы вероятности суммы и произведения событий
- •Тема 7. Независимость событий. Условные вероятности. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Условные вероятности
- •Полезный алгоритм
- •Тема 7. Независимость событий. Условная вероятность Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 7 Лекция 7
- •Семинар 7
- •Тема 8. Формула полной вероятности. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Тема 8. Задачи, рассмотренные на Лекции 8
- •Тема 8. - Домашнее задание 8. Формула полной вероятности
- •Тема 9. Формула Байеса (формула гипотез, формула апостериорной вероятности). – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 9
- •Домашнее задание 9. – Тема 9 – Теорема Байеса
- •Тема 10. Схема повторных независимых испытаний с двумя исходами. Схема Бернулли. Теорема и Формула Бернулли. - 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Формула Бернулли
- •Случай нескольких исходов
- •Вероятность появления рассматриваемого события не менее m раз
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 10. Тема 10. Формула Бернулли Лекция 10
- •Семинар 10
- •Домашнее задание 10 – Тема 10. Схема Бернулли
- •Тема 11. Приближенные вычисления в схеме Бернулли. Формулы Пуассона, Муавра – Лапласа. Алгоритмы вычислений. Гауссиана. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Формула Пуассона
- •Алгоритм использования функции Гаусса в приближенных вычислениях
- •Алгоритм использования функции ф(х) в приближенных вычислениях
- •Сокращенная таблица значений функции плотности и интегральной функции ф(х)
- •Задачи, рассмотренные на Лекции.
- •Тема 11. - Формулы Пуассона и Муавра – Лапласа
- •Домашнее задание 11. -Тема 11. Формулы Пуассона и Муавра – Лапласа. Кривая вероятностей (Гауссиана). Закон больших чисел
- •Тема 12. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Свойства биномиальных коэффициентов. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Свойства Сочетаний (биномиальных коэффициентов)
- •Треугольник Паскаля
- •Домашнее задание 12 – Тема 12. Бином Ньютона
- •Дискретная случайная величина
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Математические операции над дискретными случайными величинами
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре. Тема 13
- •Домашнее задание 13 – Тема 13. Случайная величина (св).
- •Тема 14. Числовые характеристики случайной величины. «Меры положения»: среднее арифметическое, среднее геометрическое, мода, медиана. «Меры рассеяния»: дисперсия, эксцесс, асимметрия.
- •«Меры положения»
- •1. Средняя арифметическая величина. Понятие средней арифметической
- •Свойства средней величины
- •2. Мода
- •3. Медиана
- •Вариация массовых явлений. «Меры рассеяния»
- •4. Размах (интервал изменения)
- •5. Математическое ожидание
- •Свойства математического ожидания
- •6. Дисперсия и среднеквадратическое (стандартное) отклонение
- •Алгоритм вычисления дисперсии
- •Свойства дисперсии
- •7. Коэффициент вариации
- •Моменты распределения и показатели его формы. Центральные моменты распределения
- •9. Коэффициент асимметрии
- •10. Коэффициент эксцесса
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 14
- •Домашнее задание 14. Тема 14 – Числовые характеристики случайной величины. Закон распределения св
- •Плотность распределения
- •Сходство и различия между законом распределения и плотностью распределения
- •Свойства плотности вероятности
- •Нормальный закон распределения
- •Свойства кривой вероятностей
- •Понятие о биномиальной случайной величине
- •Раздел II
- •Вопросы для контроля
- •Вопросы к зачету по теории вероятностей и математической статистике
- •Рекомендуемая литература
Семинар 4
Задача 1С-Т4. Сколькими способами можно составить букет из пяти цветов, если в наличии имеются цветы трех сортов?
Задача 2С–Т4. На почте имеются марки десяти различных типов. Покупается 15 марок. Сколько существует способов покупки 15 марок?
Задача 3С-Т4. Сколько различных «слов» (под словом понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в словах:
а) АГА?
б) MISSISSIPPI?
Задача 4С-Т4. В магазине имеется 7 видов тортов.
а) Сколькими способами можно составить набор, содержащий три торта?
б) А если имеются 3 вида тортов, а нужен набор из семи тортов?
Задача 5С-Т4. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколькими способами можно пробрести в ней:
а) 3 пирожных одного вида?
б) 5 пирожных?
в) Какова вероятность того, что три выбранных наудачу пирожных будут одинаковы?
Задача 6С-Т4. 12 человек прибыли в гостиницу, в которой есть один четырехместный, два трехместных и один двухместный номера. Сколько существует способов их размещения?
Задача 7С-Т4. Пять человек вошли в лифт на первом этаже девятиэтажного дома. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта на нужных этажах?
Задача 8С-Т4. В лифт 9-этажного дома на 1-м этаже зашли 4 человека. Сколько различных вариантов их выхода может быть? Различными считаются варианты, отличающиеся только количеством людей, выходящих на данном этаже.
Задача 9С-Т4. В условиях предыдущей задачи найти количество вариантов, при которых на пятом этаже, выйдут точно 2 человека.
Задача 10С-Т4. На основе двух предыдущих задач найдём вероятность того, что из 4-х пассажиров, зашедших в лифт на 1-м этаже 9-этажного дома, на пятом этаже выйдут ровно 2 человека.
Задача 11С-Т4 (дополнительная). Найти число различных перестановок из знаков:
«+», «+», «+», «+», «-», «-», «-».
Домашнее задание 4 - Тема 4.
Схема с возвращением. Перестановки, Сочетания, Размещения
Задача 1Д-Т4. Сколькими способами можно разместить в двух комнатах 9 различных предметов?
Задача 2Д-Т4. Сколькими способами можно разделить 6 разных книг между 3 школьниками?
Задача 3Д-Т4. В почтовом отделении продаются открытки 6 видов. Сколькими способами можно приобрести в нем:
а) 4 открытки?
б) 4 одинаковые открытки?
в) 4 разные открытки?
Какова вероятность каждого из этих событий?
Задача 4Д-Т4. Сколько различных букетов по 5 цветков можно составить, если в наличии есть достаточно много цветков четырех видов?
Задача 5Д-Т4. У врача есть 3 вида одного лекарства, 2 вида – другого и 4 вида – третьего. В течение 9 дней он каждый день предлагает больному по одному лекарству. Сколькими способами он может выделить больному лекарства?
Задача 6Д–Т4. На десяти карточках написаны буквы так, что из этих букв можно сложить слово МАТЕМАТИКА. Сколько существует различных 10-буквенных слов, которые можно образовать при помощи этих карточек?
Задача 7Д–Т4 («чисто женская задача»). В гардеробе у дамы три кофточки, две юбки и двое туфель. Все вещи по стилю и цвету хорошо сочетаются. Сколько различных вариантов наряда можно составить, комбинируя эти вещи?
Задача 8Д-Т4. Сколько существует различных перестановок букв:
а) в слове ТРАКТАТ?
б) а в слове АААУУАУУУУ?
Задача 9Д-Т4. Сколько различных инициалов можно образовать, используя 5 первых букв русского алфавита?
Задача 10Д-Т4. Сколькими способами можно распределить 6 различных подарков между четырьмя ребятишками?
Задача 11Д-Т4. Сколькими способами можно составить набор из 6 пирожных, если имеется только 4 вида пирожных?
Задача 12Д-Т4. Группа учащихся 5-7 классов из 8 человек отправляется в путешествие по Крыму. Сколькими способами можно составить группу из учащихся 5-7 классов?
Задача 13Д-Т4. а). Сколькими способами можно распределить 4 книги на трех полках книжного шкафа? б). Найти количество способов расстановки книг на полках, если порядок расположения книг не имеет значения.
Задача 14Д-Т4. Известно, что 7 студентов сдали экзамен по теории вероятностей на «хорошо» и «отлично». Сколькими способами могли быть поставлены им оценки?
Задача 15Д–Т4. Местком состоит из 7 человек. Из своей среды он выбирает президиум в составе трех человек: председателя месткома, заместителя председателя месткома, секретаря месткома. Сколько существует различных способов образования президиума месткома?
Задача 16Д–Т4. На каждой из 9-ти карточек написана одна цифра от 1 до 9 без повторений. Располагая любые три карточки «в строку», мы получим трехзначное число.
а) Сколько различных трехзначных чисел можно изобразить с помощью этих 9 карточек?
б) сколько различных пятизначных чисел можно изобразить из этих 9 карточек
в) Сколько различных девятизначных чисел можно изобразить, используя карточки?
Задача 17Д-Т4. Десять студентов, среди которых Федин и Шилов, случайным образом занимают очередь в библиотеку. Сколько имеется вариантов расстановки студентов, когда между Фединым и Шиловым окажутся 6 студентов?
Задача 18Д-Т4. У одного школьника имеется 7 марок для обмена, а у другого – 16. Сколькими способами они могут осуществить обмен:
а) марка на марку?
б) две марки на две марки?
Задача 19Д-Т4. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 5 шаров, чтобы среди них было:
а) 5 черных?
б) 3 белых и 2 черных?
Задача 20Д-Т4. Сколькими способами можно распределить 15 выпускников по трем районам, если в одном из них имеется 8, в другом – 5 и в третьем – 2 вакантных места?
Задача 21Д-Т4. Игральная кость (на ее шести гранях нанесены цифры от 1 до 6) бросается три раза. Сколько существует вариантов выпадения очков в данном опыте? Напишите некоторые из них.
Задача 22Д-Т4. Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове: а) ГОРА; б) ИНСТИТУТ?
Задача 23Д-Т4. Сколько существует способов размещения 9 человек в двухместный, трехместных и четырехместный номера гостиницы?
Задача 24Д-Т4. Сколькими способами можно распределить 16 видов товаров по трем магазинам, если в первый магазин надо доставить 9, во второй – 4, а в третий – 3 вида товаров?
Задача 25Д-Т2. В цветочном киоске 7 видов цветов. Сколькими разными способами можно составить букет из трех цветов?
Задача 26Д-Т4. Найти число различных перестановок из знаков «+»,«+»,«+»,«+»,«-»,«-», «-».