Тема 14. Числовые характеристики случайной величины. «Меры положения»: среднее арифметическое, среднее геометрическое, мода, медиана. «Меры рассеяния»: дисперсия, эксцесс, асимметрия.

Для сравнения совокупностей значений СВ могут быть использованы различные величины. Перечислим некоторые из них:

- мода,

- медиана,

- среднее.

Эти термины объединяют одним термином – меры центральной тенденции, или, короче – центральные тенденции, подчеркивая тем самым возможность измерить, охарактеризовать совокупность значений СВ одним числом, к которому стремятся все ее значения.

«Меры положения»

1. Средняя арифметическая величина. Понятие средней арифметической

Средним арифметическим значением (часто его называют просто «среднее») называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности остается неизменным.

Исходя из определения, формула для расчета средней арифметической величины имеет вид:

= х₁ + х₂ + … + х_n = ,

где – средняя величина,n – количество значений, которое принимает СВ.

Результат можно получить как сумму произведений значений признака в каждой группе х_i на число элементов в группе с таким количеством. Получим формулу

=,

где n – число групп.

Такую форму средней арифметической называют взвешенной арифметической в отличие от простой средней.

В качестве «весов» здесь выступают числа единиц совокупности в разных группах.

Свойства средней величины

Имеется несколько замечательных свойств средней величины.

1. Сумма отклонений индивидуальных значений от среднего значения признака равна нулю.

1.1. Для взвешенной средней сумма взвешенных отклонений равна нулю.

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на одно и то же число, то и средняя величина увеличится или уменьшится во столько же раз.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака добавить/вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет / уменьшится на это же число.

4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится.

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины меньше, чем от любого другого числа.

2. Мода

Модой дискретной случайной величины Х – обозначается Mo(X) называется значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность.

Отметим, что мода – это число, которое встречается чаще всего, а не частота встречаемости этого значения.

Если в вариационном ряду имеются два или несколько равных (и даже несколько различных, но больших чем соседние) значений признака, то вариационный ряд считается бимодальным («верблюдоподобным») либо мультимодальным. Это говорит о неоднородности совокупности значений, возможно, представляющей собой «агрегат» нескольких совокупностей с разными модами.

Графически мода - это абсцисса самой высокой точки в распределении СВ.

3. Медиана

Если упорядочить данные по величине, начиная с самой маленькой величины, и заканчивая самой большой, то медиана также будет характеристикой усреднения в упорядоченном наборе данных.

Определение. Медиана делит упорядоченный ряд значений пополам с равным числом (количеством) значений как выше, так и ниже ее.

Или: медиана определяется как величина, относительно которой по крайней мере 50% выборочных значений не меньше и по крайней мере 50% - больше.

Медиана (обозначается ) – это так называемое «серединное значение» упорядоченного ряда значений СВ.

Исходя из определения, количество значений, расположенных левее и правее медианы на числовой оси, одинаково.