Тема 10. Схема повторных независимых испытаний с двумя исходами. Схема Бернулли. Теорема и Формула Бернулли. - 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие

Схема повторных независимых испытаний с двумя исходами

Рассматривается случай, когда требуется определить не вероятность осуществления некоторого события в одном испытании, а вероятность того, что это событие произойдет заданное количество раз в серии изопытов.

Пусть опыт производится многократно, причем выполнены следующие условия:

1) все испытания независимы друг от друга, т.е. вероятность появления события А в каждом из них не зависит от того, произошло или не произошло рассматриваемое событие в других опытах или – опыты являются независимыми, поскольку вероятность исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели предшествующие опыты;

2) каждое событие имеет только два исхода:

- исход первый - событие А произошло;

- исход второй – событие А не произошло, т.е. произошло «неА»;

3) вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р, следовательно, вероятность не появления события А – равна

q = 1 – p.

Такая постановка задачи называется схемой независимых испытаний.

Примерами повторных независимых испытаний с двумя исходами могут служить:

- многократное подбрасывание сонеты;

- стрельба по цели n раз одиночными выстрелами, если нас интересует только попадание или промах;

- массовый контроль деталей, при котором требуется только установить, какой является деталь – стандартной или нестандартной.

Некоторые задачи, описываемые схемой независимых повторных испытаний, можно решать, используя формулы для непосредственного подсчета вероятностей или теоремы о вероятности суммы и вероятности произведения. Если же число независимых испытаний n существенно велико, то вычисление вероятности появления события А ровно m раз с помощью теорем о вероятности суммы и вероятности произведения становится трудоемким.

Формула Бернулли

Имеется формула, позволяющая непосредственно вычислять вероятность появления события А ровно m раз в серии из n испытаний.

При выполнении указанных выше условий вероятность того, что при проведении независимых испытаний событиебудет наблюдаться ровноm раз (неважно, в каких именно опытах), определяется по формуле Бернулли:

где р - вероятность появления события А в каждом испытании, а - вероятность того, что в данном опыте событиеА не произошло.

Иногда употребляют другое обозначение, тождественное введенному нами:

P(p, n, m) = Р_n(m) = .

Запишем формулу Бернулли в «развернутом» (факториальном) виде:

Определение. Число k₀ появления события называется наивероятнейшим, если вероятность появления события k раз в серии из n испытаниях превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число k₀ определяется из двойного неравенства:

(n + 1) p – 1 < k₀ < (n + 1) p,

или, что то же самое:

.

Случай нескольких исходов

Если же результатом каждого опыта является не два исхода А и «неА», а несколько взаимно исключающих друг друга исходов: А₁, А₂, …, А_s, которые в результате опыта могут появиться с вероятностями р₁, р₂, …, р_s соответственно, то вероятность того, что в n опытах событие А₁ появится k₁ раз, событие А₂ – k₂ раз, …, А_s – k_s раз находится по формуле:

Р_n(k₁, k₂, …, k_s) =