Тема 11. Приближенные вычисления в схеме Бернулли. Формулы Пуассона, Муавра – Лапласа. Алгоритмы вычислений. Гауссиана. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие

При больших значениях n, порядка десятков и сотен, вместо формулы Бернулли для приближенного вычисления вероятности m успехов в серии n испытаний используются формулы Пуассона и Муавра – Лапласа.

Формула Пуассона

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность р достаточно мала, причем их произведение не мало и не велико, то приближенно вероятностьможно найти поасимптотической формуле Пуассона.

Теорема Пуассона. Если число испытаний неограниченно увеличивается и вероятностьр наступления события А в каждом испытании неограниченно уменьшается , но так, что их произведениеn·p является постоянной величиной (n·p = a = const), то вероятность удовлетворяет предельному равенству

или .

Асимптотическую формулу Пуассона применяют в тех случаях, когда:

а) р = const < 0,1, т.е. сам по себе «успех» является редким событием;

б) , т.е. количество испытанийn достаточно велико;

в) n·p·q < 10.

Формула Пуассона находит широкое применение в теории массового обслуживания.

Гауссиана, кривая вероятностей. Функция Гаусса задается формулой

.

Для гауссовой функции имеются подробные таблицы ее значений. Эти таблицы составлены для значений аргументах с шагом 0,01. Они имеются во всех учебниках, пособиях и справочниках по математике, теории вероятностей и статистике.

График функции Гаусса называется кривой вероятностей.

Пользуясь таблицами значений функции Гаусса, следует помнить, что:

1) - четная функция, т.е.и

2) =0 прих 4.

Именно поэтому в большинстве таблиц значения функции приведены только для значений аргумента

Теорема 2. Если число испытаний n достаточно велико, а вероятности р и q не очень близки нулю, то приближенное значение вероятности можно определить по формуле:

,

где - функция Гаусса, а.

Эта замечательная формула называется локальной формулой Муавра – Лапласа.

Алгоритм использования функции Гаусса в приближенных вычислениях

Для вычисления следует:

1) проверить справедливость неравенства . Обычно бывает достаточно выполнения условий:

а) n > 100,

б) n·p·q > 20;

2) вычислить х_k формуле:

3) по таблице значений гауссовой функции вычислить

4) предыдущий результат разделить на

Вероятность того, что число «успехов» k и n испытаниях Бернулли находится в пределах от k₁ до k₂, обозначают так:

.

Для вычисления вероятностей снова используют гауссову функцию. При этом, еслир, q > 0,01, а n велико настолько, что

,

(как правило, это условие выполняется при n > 40), то для отыскания вероятности события используютинтегральную формулу Муавра – Лапласа.

Для удобства вычислений вводят некоторую дополнительную функцию Ф(х). Для этой функции составлены таблицы значений, а связана она с следующим образом.

Если аргумент х положителен, то Ф(х) равна площади под гауссовой кривой на отрезке от [0; 1]. Аналитически Ф(х) записывается с использованием интеграла, именно поэтому полученная в итоге формула называется интегральной. Запись сложна, но ее следует запомнить хотя бы приблизительно.

.

Следует учитывать, что

1) функция Ф(х) нечетна, т.е. Ф(-х) = - Ф(х), а график функции симметричен относительно начала координат;

2) Ф(х)0,5 прих > 5, поэтому в большинстве таблиц значения функции Ф(х) приведены только для аргумента ;

3) наконец, Ф(0) = 0.

Ясно также, что эта функция возрастает на всей области ее определения. График функции Ф(х) представлен ниже.

Функция Ф(х) называется функцией Лапласа.

Теорема 3. В условиях локальной формулы Муавра – Лапласа приближенное значение вероятности того, что число успеховk заключено между k₁ и k₂, можно найти по интегральной формуле Муавра – Лапласа:

= Ф(х₂) – Ф(х₁),

где

,

.