Предмет теории вероятностей – изучение становления закономерностей случайных явлений (случайных экспериментов), результаты которых заранее предсказать нельзя.

Случайными (стохастическими) экспериментами, проводимыми при фиксированном комплексе условий называются эксперименты, результаты которых заранее предсказать невозможно.

Различные результаты эксперимента называются исходами.

Множество всех взаимоисключающих исходов эксперимента называется пространством элементарных событий.

Если – элементарное событие, то – множество элементарных событий.

Произвольное подмножество пространства элементарных событий называется событием: .

Говорят, что событие A наступило, если эксперимент заканчивается одним из исходов, входящих в A.

1. Если при каждом испытании происходит событие A и одновременно событие B, то говорят, что событие A входит в событие B: .

2. Если и , то (равносильны).

3. Событие, состоящее в том, что происходит A или B, называется суммой событий: .

4. Событие, состоящее в том, что происходит одновременно и A, и B, называется произведением событий: .

5. Событие, состоящее в том, что событие A происходит и не происходит событие B называется разностью событий: .

6. Событие, состоящее в том, что не происходит событие A называется противоположным событию A: .

7. События A и B называются несовместными (или несовместимыми), если они ни при каких испытаниях не происходят одновременно .

Свойства операций:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. и т.д.

Понятие вероятности и классическое определение вероятности.

Вероятность события – это некоторая функция события, которая характеризует возможность (шанс) осуществиться событию в ходе случайного эксперимента.

Вероятность достоверного события: .

В случае классического определения пространство событий состоит из конечного числа равновероятных элементарных событий: . Если , то .

Некоторые элементы комбинаторики

Множество A, состоящее из n различных элементов называется n-множеством.

Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие число от 1 до n.

Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками этого множества.

Количество перестановок элементов множества .

Размещением из n элементов по k называется упорядоченное k-подмножество данного n-множества. .

Сочетанием из n элементов по k называется неупорядоченное k-подмножество данного n-множества. .

Формула Стирлинга: .

Геометрическая вероятность:

П усть задана непрерывная область  и в ней – область A. Разобьём  на n областей и обозначим каждую из них . Пусть . Тогда вероятность попадания точки в область A («мера» – в данном случае – площадь).

Теорема (формула) сложения и умножения вероятностей:

.

Пусть A благоприятствует m элементарных событий, B – k,  – n и AB – l . Тогда событий, следовательно, . Если , то .

.

Условная вероятность. Формула умножения вероятностей.

Вероятность события A при условии, что уже произошло событие B, называется условной вероятностью. Обозначение: .

Пусть – новое пространство элементарных событий и пусть . Тогда (если ) (если ) .

Второе определение: Условной вероятностью события A при условии, что уже произошло событие B , называется число .

.

Событие A называется независимым от события B, если .

Лемма о взаимной независимости: Если A не зависит от B (при и ), то событие B не зависит от A.

. Т.к. , то .

Если события независимы, то .

События A и B называются независимыми, если .

Если , то события независимы в совокупности.

События называются попарно независимы, если для .

Свойства условных событий:

1. ;

2. ;

3. .

4. Если , то .

5. .

Формула Байеса

События называются полной группой событий, если они попарно независимы и их сумма составляет достоверное событие.

Формула полной вероятности: Пусть – полная группа событий. Тогда для любого события A будет .

.

Формула Байеса: Пусть дана полная группа событий и событие A. Тогда для .

.

Аксиоматическое построение теории вероятностей

Вместе с -множеством (пространством элементарных событий) рассматривается -множество – множество всех подмножеств множества .

Множество  называется -алгеброй множеств, если:

1. .

2. если , то (здесь называется дополнением A).

3. если и , то и .

4. если для , то и .

Обозначение	Термины
	Теория множеств	Теория вероятностей
	Множество элементарных событий	Пространство элементарных событий
	Элемент множества	Элементарное событие
A,B,C	Подмножества	Случайные события
	Пустое множество	Невозможное событие
	Объединение подмножеств	Сумма событий
	Пересечение подмножеств	Произведение событий
	Дополнение подмножества	Противоположное событие
	Пересечение подмножеств есть пустое множество	События несовместны
	Подмножества совпадают	События равносильны
	A является подмножеством B	Событие A влечёт за собой событие B.

Аксиомы теории вероятностей:

1. Каждому случайному событию A ставится в соответствие неотрицательное число , называемое его вероятностью.

2. .

3. (Аксиома сложения): Если попарно несовместны, то .

Следствия:

1. .

2. .

3. .

4. Если , то .

5. .