- •Понятие вероятности и классическое определение вероятности.
- •Некоторые элементы комбинаторики
- •Условная вероятность. Формула умножения вероятностей.
- •Формула Байеса
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей
- •Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •Случайные величины и функции распределения
- •Ф ункция распределения случайных величин
- •Плотность распределения случайной величины
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Момент, дисперсия, среднеквадратичное отклонение
- •Зависимые и независимые случайные величины
- •Система произвольного числа случайных величин
- •Законы распределения и числовые характеристики функции случайных величин
- •Теоремы о числовых характеристиках
- •Закон распределения монотонной функции одного случайного элемента.
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Закон больших чисел в форме теоремы Чебышева
- •Обобщённая теорема Чебышева и теорема Маркова
- •Характеристические функции
- •Основные свойства характеристических функций
- •Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределённых слагаемых
- •Математическая статистика
- •Весовые характеристики статистического распределения
- •Доверительный интервал
- •Проверка статистических гипотез
- •Метод наименьших квадратов
Закон больших чисел в форме теоремы Чебышева
Пусть есть набор случайных величин для . Составим случайную величину . Тогда при .
Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независимых опытов, среднее арифметическое измеренных значений случайной величины сходится по вероятности к их математическому ожиданию, т.е. для и при будет .
Пусть . Тогда (см. выше). По неравенству Чебышева . Тогда, т.к. , то при будет и , т.е. .
Обобщённая теорема Чебышева и теорема Маркова
Теорема Чебышева: Если – независимые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями и если дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом L (т.е. для ), то при возрастании числа опытов (по вероятности) , т.е. для и для будет .
Пусть . Тогда . По неравенству Чебышева, . Т.к. при , то для будет .
Теорема Маркова: Если имеются зависимые величины , и если при , то ( по вероятности) (т.е для и для будет ).
Пусть . Тогда . Т.к. , то для будет , следовательно, .
Характеристические функции
Характеристической функцией величины X называется функция (здесь ).
Если X – дискретная величина, то , иначе – фактически, преобразование Фурье. Обратное преобразование – .
Основные свойства характеристических функций
.
.
, если независимы.
.
.
/
Теорема единственности: Функция распределения однозначно определяется своей характеристической функцией и наоборот.
Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределённых слагаемых
Теорема Ляпунова: Если – независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией , то при неограниченном увеличении закон распределения величины стремится к нормальному.
. Пусть . Тогда и
Характеристическая функция . Введём для удобства переменную и разложим в ряд в окрестности точки , где . При этом . Можно перенести начало координат в точку и тогда . Таким образом, или и тогда при .
Математическая статистика
Генеральной совокупностью называют всю первоначальную совокупность объектов, а выборкой или выборочной совокупностью называют совокупность случайно отобранных объектов.
Объём совокупности – это число объектов в ней.
Совокупность измеренных значений величины X называют простой статистической совокупностью или статистическими данными.
Полигоном частот называют ломаную, соединяющую точки , где – частота появления величины .
Полигоном относительных частот называют ломаную, соединяющую точки , где – относительная частота появления величины , N – объём совокупности.