- •Понятие вероятности и классическое определение вероятности.
- •Некоторые элементы комбинаторики
- •Условная вероятность. Формула умножения вероятностей.
- •Формула Байеса
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей
- •Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •Случайные величины и функции распределения
- •Ф ункция распределения случайных величин
- •Плотность распределения случайной величины
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Момент, дисперсия, среднеквадратичное отклонение
- •Зависимые и независимые случайные величины
- •Система произвольного числа случайных величин
- •Законы распределения и числовые характеристики функции случайных величин
- •Теоремы о числовых характеристиках
- •Закон распределения монотонной функции одного случайного элемента.
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Закон больших чисел в форме теоремы Чебышева
- •Обобщённая теорема Чебышева и теорема Маркова
- •Характеристические функции
- •Основные свойства характеристических функций
- •Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределённых слагаемых
- •Математическая статистика
- •Весовые характеристики статистического распределения
- •Доверительный интервал
- •Проверка статистических гипотез
- •Метод наименьших квадратов
Зависимые и независимые случайные величины
Случайная величина Y называется независимой от случайной величины X, если закон распределения Y не зависит от того, какое значение приняла X (т.е .
.
Момент порядка , центральный момент: . Дли дискретного распределения .
Посчитаем некоторые моменты: . Аналогично .
– корреляционный момент.
Пусть x и y – независимые величины. Тогда и .
Две величины называют некоррелированными, если их корреляционный момент равен 0, иначе – коррелированными.
Система произвольного числа случайных величин
Функция распределения: .
Плотность распределения: .
Функция вероятности одной величины: ; плотность вероятности одной величины: .
Частная функция распределения: .
Условные вероятности: .
Числовые характеристики:
.
.
.
Корреляционная матрица: . Эта матрица симметрична: . Если она диагональная, то система независима.
Нормальное распределение для двумерной случайной величины: , где . При этом , .
Законы распределения и числовые характеристики функции случайных величин
Будем рассматривать функцию одной переменной: . В случае дискретного x задаётся ряд, т.е. каждому ставится в соответствие вероятность его выпадения . Тогда по закону можно величинам поставить в соответствие те же вероятности . При этом их надо упорядочить в монотонно возрастающем порядке и, если и , то .
Математической ожидание: .
Теоремы о числовых характеристиках
, где C – не случайная величина.
, где C – не случайная величина.
.
.
.
Доказательство последнего пункта: .
Аналогично .
Если , то .
.
.
Закон распределения монотонной функции одного случайного элемента.
Пусть функция задана так: , причём монотонно возрастает на . Тогда Плотность распределения , где – функция распределения Y, , где – функция распределения величины X, t – просто переменная интегрирования. Т.к. монотонна, то существует функция , обратная ей. Тогда . Если убывает, то , ну а в общем случае .
Закон распределения немонотонной функции одного случайного аргумента
Ф ункция распределения . Плотность распределения .
Закон распределения функции двух случайных величин
. Будем рассматривать более простой случай .
Ф ункция распределения . Плотность распределения .
Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.
. Если x и y – независимы, то .
Если и – нормальные распределения, то . Видно, что распределение нормальное, причём .
Предельные теоремы теории вероятностей
Неравенство Чебышева: Каково бы ни было , вероятность того, что X отличается от своего математического ожидания не меньше, чем на , ограничено сверху выражением .
.