- •Понятие вероятности и классическое определение вероятности.
- •Некоторые элементы комбинаторики
- •Условная вероятность. Формула умножения вероятностей.
- •Формула Байеса
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей
- •Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •Случайные величины и функции распределения
- •Ф ункция распределения случайных величин
- •Плотность распределения случайной величины
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Момент, дисперсия, среднеквадратичное отклонение
- •Зависимые и независимые случайные величины
- •Система произвольного числа случайных величин
- •Законы распределения и числовые характеристики функции случайных величин
- •Теоремы о числовых характеристиках
- •Закон распределения монотонной функции одного случайного элемента.
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Закон больших чисел в форме теоремы Чебышева
- •Обобщённая теорема Чебышева и теорема Маркова
- •Характеристические функции
- •Основные свойства характеристических функций
- •Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределённых слагаемых
- •Математическая статистика
- •Весовые характеристики статистического распределения
- •Доверительный интервал
- •Проверка статистических гипотез
- •Метод наименьших квадратов
Плотность распределения случайной величины
Рассмотрим . Средняя вероятность на единицу длины на отрезке .
Производная функции распределения называется плотностью распределения или плотностью вероятности или дифференциальным законом распределения.
Свойства плотности вероятности:
.
.
.
Числовые характеристики случайных величин
Характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана.
Если задан ряд:
x |
|
|
… |
|
p |
|
|
… |
|
то математическое ожидание . Для непрерывной величины .
Мода – координата локального максимума плотности вероятности.
М едиана – такое число, что прямая делит площадь под функцией распределения на две равные части, т.е. .
Момент, дисперсия, среднеквадратичное отклонение
Начальный момент k=го порядка: . Для непрерывного x: .
Видно, что .
Центральный момент k-го порядка: . Для непрерывного x: .
Видно, что .
Дисперсия .
Среднеквадратичное отклонение .
Рассмотрим ; .
, где .
.
.
Величина называется коэффициентом асимметрии.
Величина является характеристикой крутизны кривой.
Для нормального распределения .
Некоторые известные законы распределения случайных величин.
Закон равномерной плотности или равномерного распределения
. Найдём C: . Таким образом, .
. . Моды у этого распределения нет. Медиана . Дисперсия . Среднеквадратичное отклонение . Пусть . Тогда .
Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
, где и m – параметры распределения. . Среднеквадратичное отклонение = .
Центральный момент k-го порядка . Если k – нечётное, то , иначе .
Отсюда следует, что . Эксцесс , что, собственно, следует из его определения.
Показательное распределение
. .
Закон (распределение) Пуассона:
Если задана случайная дискретная величина , то вероятность того, что .
Многоугольник распределения:
.
Биномиальное распределение: .
(бином Ньютона) .
Системы случайных величин или многомерные случайные величины
Ф ункцией распределения двух случайных величин называют вероятность выполнения двух неравенств: , т.е. вероятность попадания в заштрихованную область.
Свойства двумерных функций распределения:
Если , то , если , то .
.
Одномерные функции можно представить через двумерные: .
.
.
Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами и будет: . Тогда вероятность попадания в какую-то область . Функция – плотность распределения.
Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему случайных величин. Условные законы распределения.
Пусть заданы функции распределения и . Тогда , где – функция плотности распределения для . Тогда .
Условным законом распределения величины x, входящих в систему называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая величина Y приняла определённое значение y.
Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами и где и – два события. Тогда . Следовательно, Таким образом, .
Двумерный ряд распределения:
X Y |
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
… |
|
. При этом (сокращённо) .