- •Понятие вероятности и классическое определение вероятности.
- •Некоторые элементы комбинаторики
- •Условная вероятность. Формула умножения вероятностей.
- •Формула Байеса
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей
- •Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •Случайные величины и функции распределения
- •Ф ункция распределения случайных величин
- •Плотность распределения случайной величины
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Момент, дисперсия, среднеквадратичное отклонение
- •Зависимые и независимые случайные величины
- •Система произвольного числа случайных величин
- •Законы распределения и числовые характеристики функции случайных величин
- •Теоремы о числовых характеристиках
- •Закон распределения монотонной функции одного случайного элемента.
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Закон больших чисел в форме теоремы Чебышева
- •Обобщённая теорема Чебышева и теорема Маркова
- •Характеристические функции
- •Основные свойства характеристических функций
- •Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределённых слагаемых
- •Математическая статистика
- •Весовые характеристики статистического распределения
- •Доверительный интервал
- •Проверка статистических гипотез
- •Метод наименьших квадратов
Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
Вероятность того, что в m опытах из n произойдёт какое-то событие .
Рассмотрим . Очевидно, что . Если – целое число, то максимум достигается в точках и , иначе в точках .
Если , то , т.е. .
Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа: Если вероятность наступления некоторого события A в n независимых испытаний постоянна и равна p, то вероятность того, что в этих испытаниях событие A наступит ровно m раз, удовлетворяет при соотношению равномерно для , для которых находится в каком-либо конечном интервале.
при . Далее, . Таким образом, , где (т.к. при ) и . .
Вероятность того, что при n испытаниях событие произойдёт от до раз: .
Интегральная теорема Муавра-Лапласа: Если m – число наступлений события при n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность этого события – p , то равномерно относительно a и b при будет: , где .
Из локальной предельной теоремы Муавра-Лапласа следует, что , где при . Рассмотрим разность . Тогда . Следовательно, . При , следовательно, .
– функция Гаусса.
– функция Лапласа.
Таким образом, .
Для для будет , где p – вероятность появления события в одном испытании, – классическая вероятность этого события.
Рассмотрим (т.к. – нечётная функция) = , следовательно, .
Эти формулы наиболее эффективны при p близком к или при очень больших n.
Теорема Пуассона: Пусть в схеме независимых испытаний величина остаётся постоянной при . Тогда для и будет: – формула Пуассона.
.
, следовательно, максимум получается при , т.е. наивероятнейшее количество удачных опытов , если – дробное и и , если – целое.
Случайные величины и функции распределения
Величина является случайной, если она в результате опыта может принять то или иное значение, которое заранее предсказать невозможно.
Функция, заданная на пространстве событий является случайной величиной ( , где – элементарное событие).
– реализация случайной величины.
X |
|
|
… |
|
P |
|
|
… |
|
Многоугольник (полигон) распределения:
Ф ункция распределения случайных величин
Функция распределения – это вероятность того, что величина X попадёт в интервал (интегральный закон распределения). Для дискретного X .
Свойства функции распределения:
не убывает, т.е. если , то .
.
.
Вероятность попадания случайной величины на заданный участок .
Пусть . Тогда , следовательно, .