- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Случайные события
- •Действия над событиями
- •Свойства операций над событиями
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 1. События. Основные операции над событиями Лекция 1
- •Семинар 1
- •Домашнее задание 1 – Тема 1.
- •Свойства относительной частоты
- •Свойства статистической вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Свойства «классической» вероятности
- •Полезный алгоритм
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 2 Лекция 2
- •Семинар 2
- •Домашнее задание 2 – Тема 2.
- •Классическое определение вероятности
- •Домашнее задание 2 – Тема 2.
- •Классическое определение вероятности
- •Тема 2.1. Элементы комбинаторики. Правило суммы и правило произведения. – 4 часа 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Элементы комбинаторики
- •Правило умножения
- •Правило сложения (суммы)
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 2.1.
- •Домашнее задание 2.1 – Тема 2.1 Элементы комбинаторики: Правило Суммы, Правило Произведения
- •Тема 3. Элементы комбинаторики. Понятие о «схеме выбора». Схема выбора без возвращения: Перестановки, Размещения, Сочетания. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Соединения. Виды соединений
- •Перестановки
- •Размещения
- •Сочетания
- •Свойства Сочетаний (биномиальных коэффициентов)
- •Семинар 3
- •Домашнее задание 3 – Тема 3. Элементы комбинаторики: Перестановки, Размещения, Сочетания
- •Тема 4. Элементы комбинаторики. Схема выбора с возвращением: Размещения, Сочетания, Перестановки с повторением – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Размещения с повторениями
- •Сочетания с повторениями
- •Перестановки с повторениями
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 4.
- •Лекция 4
- •Семинар 4
- •Домашнее задание 4 - Тема 4.
- •Тема 5. Геометрическое определение вероятности. Субъективная вероятность. Примеры вычисления вероятностей. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Субъективная вероятность
- •Геометрическое определение вероятности
- •Свойства геометрической вероятности
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 5. Тема 5. Геометрическая вероятность
- •Домашнее задание 5 - Тема 5. Геометрическая вероятность
- •Тема 6. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Вероятность суммы событий. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Независимость событий
- •Тема 6. Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 6 Лекция 6
- •Семинар 6 Дополнительное задание
- •Домашнее задание 6 – Тема 6. Формулы вероятности суммы и произведения событий
- •Тема 7. Независимость событий. Условные вероятности. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Условные вероятности
- •Полезный алгоритм
- •Тема 7. Независимость событий. Условная вероятность Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 7 Лекция 7
- •Семинар 7
- •Тема 8. Формула полной вероятности. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Тема 8. Задачи, рассмотренные на Лекции 8
- •Тема 8. - Домашнее задание 8. Формула полной вероятности
- •Тема 9. Формула Байеса (формула гипотез, формула апостериорной вероятности). – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 9
- •Домашнее задание 9. – Тема 9 – Теорема Байеса
- •Тема 10. Схема повторных независимых испытаний с двумя исходами. Схема Бернулли. Теорема и Формула Бернулли. - 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Формула Бернулли
- •Случай нескольких исходов
- •Вероятность появления рассматриваемого события не менее m раз
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 10. Тема 10. Формула Бернулли Лекция 10
- •Семинар 10
- •Домашнее задание 10 – Тема 10. Схема Бернулли
- •Тема 11. Приближенные вычисления в схеме Бернулли. Формулы Пуассона, Муавра – Лапласа. Алгоритмы вычислений. Гауссиана. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Формула Пуассона
- •Алгоритм использования функции Гаусса в приближенных вычислениях
- •Алгоритм использования функции ф(х) в приближенных вычислениях
- •Сокращенная таблица значений функции плотности и интегральной функции ф(х)
- •Задачи, рассмотренные на Лекции.
- •Тема 11. - Формулы Пуассона и Муавра – Лапласа
- •Домашнее задание 11. -Тема 11. Формулы Пуассона и Муавра – Лапласа. Кривая вероятностей (Гауссиана). Закон больших чисел
- •Тема 12. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Свойства биномиальных коэффициентов. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Свойства Сочетаний (биномиальных коэффициентов)
- •Треугольник Паскаля
- •Домашнее задание 12 – Тема 12. Бином Ньютона
- •Дискретная случайная величина
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Математические операции над дискретными случайными величинами
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре. Тема 13
- •Домашнее задание 13 – Тема 13. Случайная величина (св).
- •Тема 14. Числовые характеристики случайной величины. «Меры положения»: среднее арифметическое, среднее геометрическое, мода, медиана. «Меры рассеяния»: дисперсия, эксцесс, асимметрия.
- •«Меры положения»
- •1. Средняя арифметическая величина. Понятие средней арифметической
- •Свойства средней величины
- •2. Мода
- •3. Медиана
- •Вариация массовых явлений. «Меры рассеяния»
- •4. Размах (интервал изменения)
- •5. Математическое ожидание
- •Свойства математического ожидания
- •6. Дисперсия и среднеквадратическое (стандартное) отклонение
- •Алгоритм вычисления дисперсии
- •Свойства дисперсии
- •7. Коэффициент вариации
- •Моменты распределения и показатели его формы. Центральные моменты распределения
- •9. Коэффициент асимметрии
- •10. Коэффициент эксцесса
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 14
- •Домашнее задание 14. Тема 14 – Числовые характеристики случайной величины. Закон распределения св
- •Плотность распределения
- •Сходство и различия между законом распределения и плотностью распределения
- •Свойства плотности вероятности
- •Нормальный закон распределения
- •Свойства кривой вероятностей
- •Понятие о биномиальной случайной величине
- •Раздел II
- •Вопросы для контроля
- •Вопросы к зачету по теории вероятностей и математической статистике
- •Рекомендуемая литература
Домашнее задание 11. -Тема 11. Формулы Пуассона и Муавра – Лапласа. Кривая вероятностей (Гауссиана). Закон больших чисел
Задача 1Д-Т11. Найдите значения n, p, q, k и выпишите (без вычислений) формулы для
а) вероятность появления ровно 7 Орлов при десяти бросаниях монеты;
б) вероятность появления ровно 3 Решек при 10 бросаниях монеты;
в) вероятность появления ровно 57 нечетных цифр при 100 независимых выборах одной цифры от 0 до 9;
г) вероятность появления ровно 75 цифр, кратных трем, при 100 независимых выборах одной цифры от 0 до 9.
Задача 2Д-Т11. Найдите значения n, p, q, k и выпишите (без вычислений) формулы для
а) каждый из 50 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачным» днем считается понедельник. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина?
б) каждый из 100 человек независимо называет один из дней недели. «Удачными» днями считаются суббота и воскресенье. Какова вероятность того, что «неудач» будет 33?
в) бросание кубика «удачно», если выпадет 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 175 бросаний из 293 будут «удачными»?
г) одновременно бросаются три различные монеты. «Неудача» - Решек больше, чем Орлов. Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» в тысяче бросаний?
Задача 3Д-Т11. По таблице значений функции найдите:
а) (1),(2),(3);
б) (0,5),(1,5),(2,5);
в) (0,1),(1,1),(2,1);
г) (0,9),(0,99),(1,99).
Задача 4Д-Т11. Используя таблицы значений функции , найдите приближенное значениех, если известно, что:
а) =0,1781;
б) =0,1006;
в) = 0,3988;
г) = 0,0116.
Задача 5Д-Т11. Найдите х > 0, для которого значение ближе всего к заданному числу:
а) 0,33;
б) 0,333;
в) 0,1;
г) 0,01.
Задача 6Д-Т11. По таблице значений функции Ф найдите:
а) Ф(1), Ф(2), Ф(3);
б) Ф(0,5), Ф(1,5), Ф(2,5);
в) Ф(0,1), Ф(1,1), Ф(2,1);
г) Ф(0,9), Ф(0,99), Ф(1,99).
Задача 7Д-Т11. Используя таблицу значений функции Ф, найдите приближенное значение х, если известно, что:
а) Ф(х) = 0,3461;
б) Ф(х) = 0,4441;
в) Ф(х) = 0,004;
г) Ф(х) = 0,4904.
Задача 8Д-Т11. Найдите х, для которого значение Ф(х) ближе всего к заданному числу:
а) 0,33;
б) 0,46;
в) 0,1;
г) 0,49.
Задача 9Д-Т11. Вероятность рождения мальчика примем равной 0,5. Найдите вероятность того, что среди 900 новорожденных будет:
а) от 400 до 500 мальчиков;
б) не менее 440 мальчиков;
в) от 430 до 470 девочек;
г) не более 460 девочек.
Задача 10Д-Т11. Известно, что из всех поступающих в университет абитуриентов в среднем 60% набрали на экзаменах более 20 баллов. Какова вероятность того, что из 100 случайно выбранных абитуриентов более 20 баллов набрали:
а) от 50 до 70 человек? б) не менее 20 человек? в) не более 60 человек? г) более 69 человек?
Задача 11Д-Т11. Известно, что левши составляют в среднем 1% населения. Используя формулы Бернулли, Пуассона и локальную формулу Муавра – Лапласа, найти вероятность того, что среди наугад выбранных 100 человек окажется пятеро левшей.
Задача 12Д-Т11. Предположим, что при наборе книги существует вероятность того, что любая буква может быть набрана неправильно. После набора гранки прочитывает корректор, который обнаруживает каждую опечатку с вероятностью. После корректора – автор, обнаруживающий каждую из оставшихся опечаток с вероятностью. Найти вероятность того, что в книге со ста тысячами печатных знаков останется после этого не более 10 незамеченных опечаток.