Домашнее задание 9. – Тема 9 – Теорема Байеса

Задача 1Д-Т9. Прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя в течение 10 лет первой микросхемы равна 0,07, а второй – 0,10. Известно, что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что вышла из строя первая микросхема?

Задача 2Д-Т9. Из 40 экзаменационных билетов студент выучил только 30. Каким выгоднее ему зайти на экзамен первым или вторым?

Задача 3Д-Т9. Известно, что 90% изделий, выпускаемых данным предприятием, отвечает стандарту. Упрощенная схема проверки качества продукции признает пригодной стандартную деталь с вероятностью 0,96 и нестандартную деталь признает стандартной (т.е. ошибается) – с вероятностью 0,06. Определить вероятность того, что:

а) наугад взятое изделие пройдет контроль;

б) изделие, прошедшее контроль качества, отвечает стандарту.

Задача 4Д-Т9. В трех одинаковых урнах лежат шары: в первой – 5 белых и 3 черных, во второй – 2 белых и 6 черных, а в третьей – 3 белых и 1 черный. Из случайно выбранной урны вынут шар. Найти вероятность того, что он белый. Найти вероятность того, что белый шар вынут:

а) из первой урны;

б) из второй урны;

в) из третьей урны.

Задача 5Д–Т9. В студенческой группе 20 студентов. Из них 5 отличников, которые знают все экзаменационные вопросы, 8 студентов знают ответы на 70% вопросов и 7 студентов – только на 50%. Вызванный первым, студент ответил на первый вопрос экзаменационного билета. Найти вероятность того, что он отличник.

Задача 6Д-Т9. Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который был убит одной пулей. Определить вероятности того, что вепрь убит первым, вторым, третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2; 0,4 и 0,6.

Задача 7Д-Т9. Два цеха штампуют однотипные детали. В сборочный цех завода поступает 40% деталей из первого цеха и 60% деталей из второго цеха. В первом цехе производится 90% стандартных деталей, а во втором – 95%.

а). Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.

б). Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь, оказавшаяся стандартной, изготовлена вторым цехом.

Задача 8Д–Т9. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех производит 5% брака, второй - 4%. Для контроля отобрано 20 деталей, выпущенных первым цехом, и 10 деталей, выпущенных вторым цехом. Эти детали смешаны в одну партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Деталь оказалась бракованная. Какова вероятность того, что она произведена первым цехом?

Задача 9Д-Т9. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 30% общего количества электроламп, второй – 25%, а третий – остальную часть. Продукция первого завода содержит 1% бракованных электроламп, второго – 1,5%, третьего – 2%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Купленная в магазине электролампа оказалась бракованной. Какова вероятность, что она произведена:

а) первым заводом?

б) вторым заводом?

в) третьим заводом?

Задача 10Д-Т9. При обследовании больного имеется подозрение на одно из двух заболеваний Н₁ и Н₂. Их вероятности в данных условиях составляют Р(Н₁) = 0,6, а Р(Н₂) = 0,4. Для уточнения диагноза назначается анализ, результатом которого является положительная или отрицательная реакция. В случае болезни Н₁ вероятность положительной реакции равна 0,9, а отрицательной – 0,1. В случае болезни Н₂ положительная и отрицательная реакции равновероятны. Анализ провели дважды, и оба раза реакция оказалась положительной (событие А). Требуется оценить вероятность каждого заболевания после проведенных анализов.

Задача 11Д-Т9. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено два шара в урну, содержащую 4 белых и 2 черных шара. Найти вероятность вынуть из второй урны белый шар.