Тема 12. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Свойства биномиальных коэффициентов. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Свойства Сочетаний (биномиальных коэффициентов)

Сочетания - при, т.е. числа…,используются в формуле бинома Ньютона. Их достаточно часто называют биномиальными коэффициентами, поскольку они являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона. В школе каждый заучивал формулы квадрата, куба и других степеней суммы двух чисел:

(a + b)² = a² + 2ab + b²,

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Определение. Формула для произвольной степени суммы двух слагаемых выглядит так:

Эту формулу обычно называют формулой бинома Ньютона. Слово «бином» означает «двучлен», а коэффициенты в разложении называются, как мы уже знаем, биномиальными коэффициентами.

Треугольник Паскаля

Для чисел имеется красивый и удобный способ из записи в виде треугольной таблицы. Эту таблицу называюттреугольником Паскаля.

С

…

…

…

…

…

…

Получается бесконечная числовая таблица «треугольной формы», в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел.

1

				1		1
			1		2		1
		1		3		3		1
	1		4		6		4		1
1		5		10		10		5		1
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

Биномиальные коэффициенты обладают многими замечательными свойствами.

1). Все они целые положительные числа.

2). Крайние коэффициенты равны единице.

3). Коэффициенты возрастают от краев к середине.

4). Сумма всех коэффициентов равна 2ⁿ. Это следует из формулы бинома, если в ней положить, что a = b = 1.

5). Сумма биномиальных коэффициентов на четных местах равна сумме коэффициентов на нечетных местах.

6). Если a заменить на -a, то знаки перед биномиальными коэффициентами будут чередоваться.

7). В разложении бинома содержится на один член больше, чем его степень.

8). Разложение есть однородный многочлен, то есть все члены имеют одну и ту же степень относительно a и b;

9). Правило симметрии: для всех m = 0, 1, …, n (записывается: )

Правило симметрии удобно использовать в расчетах количества сочетаний , еслиm превышает половину объема исходного множества, т.е. m >

10). Из свойств (7) и (9) следует, что если показатель бинома четный, то в разложении средний член имеет наибольший коэффициент, а если показатель бинома нечетный, то в разложении имеется два средних члена с одинаковым наибольшим коэффициентом.

Особенно важное значение имеет следующее свойство.

11). Правило Паскаля или рекуррентное свойство числа сочетаний:

Основная закономерность образования строк состоит в следующем: каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке (5 = 1 + 4; 10 = 4 + 6; 6 = 3 = 3 и т.д.). Или то же в строгой формулировке: сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + b)ⁿ равна определённому коэффициенту в разложении

(а + b)ⁿ⁺¹.