Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 5. Тема 5. Геометрическая вероятность

Задача 1-Т5. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства |x - 5| < 5 (1). Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства |x - 1| < 1 (2)?

Задача 2-Т5. В результате урагана был оборван телефонный кабель между 20-м и 60-м километрами линии. Какова вероятность того, что обрыв произошел между 30-м и 35-м километрами?

Задача 3–Т5. На прямолинейном участке газопровода длиной 80 км произошел разрыв. Какова вероятность того, что разрыв удален от обоих концов участка на расстояние, большее 30 км?

Задача 4-Т5. Быстро вращающийся диск разделен на 6 одинаковых секторов, попеременно окрашенных в красный и белый цвета. По диску произведен выстрел, и пуля попала в диск. Найти вероятность того, что пуля попала в один из красных секторов.

Задача 5-Т5. Внутри квадрата со стороной 14 см выделен круг радиусом 2 см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в круг?

Задача 6-Т5. Случайным образом на координатной плоскости xOy выбирается точка P(x, y), 0 х 4; 0у 2. Отрезок ОР является диагональю прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. Какова вероятность того, что периметр этого прямоугольника:

а) больше 20?

б) не больше 12?

в) меньше 4?

г) (самостоятельно) больше 10?

Задача 7-Т5. В квадрат со стороной а = 30 см случайным образом вбрасывается точка. Найдите вероятность Р того, что эта точка окажется в правой верхней четверти квадрата или не далее, чем в r = 3 см от центра квадрата.

Задача 8-Т5. Графический редактор, установленный на компьютере, случайно отмечает одну точку на квадратном экране монитора – квадрате АВСD. Какова вероятность того, что эта точка будет ближе к центру монитора, чем к его верхнему правому углу (вершине С)?

Задача 9–Т5. Наугад берутся два числа из отрезка [0; 2]. Найти вероятность того, что их сумма больше 2, а сумма квадратов меньше 4.

Задача 10–Т5 «О встрече». Два человека договорились о встрече между 9 и 10 часами утра. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит (если встреча не состоялась). Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый человек наудачу выбирает время своего прихода.

Задача 11–Т5 (дополнительная). Через остановку пролегают троллейбусный и автобусный маршруты. Троллейбус подъезжает каждые 15 минут, автобус – через каждые 25 минут. К остановке подходит пассажир. Какова вероятность того, что в ближайшие 10 минут на остановке появится троллейбус либо автобус?

Задача 12–Т5 (задача Бюффона). Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии На плоскость наудачу бросается игла длинойНайти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Задача 13–Т5. Стержень длины ломается в двух взятых наугад точках. Какова вероятность того, что из трех полученных отрезков можно сложить треугольник?

Домашнее задание 5 - Тема 5. Геометрическая вероятность

Задача 1Д–Т5. На плоскости начерчены две окружности радиусами 2 и 7 см соответственно, одна внутри другой. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от её расположения.

Задача 2Д-Т5. В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот круг, попадет в данный треугольник.

Задача 3Д-Т5. В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она не попадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг.

Задача 4Д-Т5. На отрезке [0; 5] случайно выбирается точка. Найти вероятность того, что расстояние от нее до правого конца отрезка не превосходит 1,6 единиц.

Задача 5Д-Т5. В круг радиуса R наугад бросается точка. Какова вероятность того, что эта точка окажется от центра круга на расстоянии большем, чем R/2?

Задача 6Д-Т5. На плоскости нанесена сетка с шагом 10 см. Найти вероятность того, что наугад брошенный на плоскость круг радиуса 1 см не пересечет стороны ни одного из квадратов.

Задача 7Д-Т5. Пусть испытанием является бросание точки в единичный квадрат, а событием А, В, С, D – попадание точки в соответствующую прямоугольную область (см. рис. 1 и 2). Проверить совместимость и зависимость событий:

а) событий А и В (рис. 1);

б) событий С и D (рис. 2).

Задача 8Д-Т5. Противник в течение часа делает один десятиминутный налет на участок шоссе. В течение этого же часа необходимо преодолеть этот опасный участок шоссе. С какой вероятностью можно избежать налета, если время преодоления опасного участка составляет пять минут?

Задача 9Д-Т5. Какова вероятность того, что произведение двух наугад выбранных правильных положительных дробей будет не больше ¼?

Задача 10Д-Т5. Наудачу выбирают два числа из отрезка [0; 1]. Какова вероятность, что сумма будет заключена между ¼ и 1?

Задача 11Д-Т5. Из последовательности чисел 1, 2, 3, …, 600 наугад выбирают два числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше 126, а другое – больше 126?

Задача 12Д-Т5. На плоскости нарисованы две концентрические окружности, радиусы которых составляют 3 см и 5 см. Какова вероятность того, что точка, брошенная на плоскость в больший круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями?

Задача 13Д-Т5. Сектор А занимает половину рулетки, а ее вторая половина поделена пополам между секторами В и д. Какова вероятность того, что после раскручивания стрелка рулетки остановится: а) на секторе А? б) на секторе В?

Задача 14Д-Т5. На отрезке АВ, длина которого составляет 15 см, произвольным образом выделен отрезок MN, длина которого составляет 3 см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка Х. Какова вероятность того, что эта точка попадет на отрезок MN?

Задача 15Д-Т5. Поверхность рулетки разделена на секторы следующим образом: равные секторы 1 и 2 занимают половину площади круга, а вторая половина круга разделена на три равные сектора 3, 4 и 5. Какова вероятность того, что после раскручивания стрелка рулетки остановится на:

а) секторе 1? б) секторе 3?

в) части поверхности рулетки, занимаемой секторами 1 и 2?

г) части поверхности рулетки, занимаемой секторами 4 и 5?

д) части поверхности рулетки, занимаемой секторами 1 и 5?

Задача 16Д-Т5. Дано: АВ = 12 см, АМ = 2 см, MN = 3 см. На отрезке АВ случайным образом выбирается точка Х. Какова вероятность того, что точка Х попадет на отрезок:

а) АМ?

б) AN?

в) MN?

г) MB?

д) АВ?

Задача 17Д-Т5. Внутри квадрата со стороной 14 см выделен круг радиусом 2 см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?

Задача 18Д-Т5. Из некоторой группы учащихся 20 человек увлекаются спортом, 9 – музыкой, 6 – музыкой и спортом. Определите число учащихся группы и число учащихся, увлекающихся только спортом и только музыкой.

Задача 19Д-Т5. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства х – 3|. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства:

а) | x |2?

б) 1 |x – 6| 2?