- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Случайные события
- •Действия над событиями
- •Свойства операций над событиями
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 1. События. Основные операции над событиями Лекция 1
- •Семинар 1
- •Домашнее задание 1 – Тема 1.
- •Свойства относительной частоты
- •Свойства статистической вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Свойства «классической» вероятности
- •Полезный алгоритм
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 2 Лекция 2
- •Семинар 2
- •Домашнее задание 2 – Тема 2.
- •Классическое определение вероятности
- •Домашнее задание 2 – Тема 2.
- •Классическое определение вероятности
- •Тема 2.1. Элементы комбинаторики. Правило суммы и правило произведения. – 4 часа 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Элементы комбинаторики
- •Правило умножения
- •Правило сложения (суммы)
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 2.1.
- •Домашнее задание 2.1 – Тема 2.1 Элементы комбинаторики: Правило Суммы, Правило Произведения
- •Тема 3. Элементы комбинаторики. Понятие о «схеме выбора». Схема выбора без возвращения: Перестановки, Размещения, Сочетания. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Соединения. Виды соединений
- •Перестановки
- •Размещения
- •Сочетания
- •Свойства Сочетаний (биномиальных коэффициентов)
- •Семинар 3
- •Домашнее задание 3 – Тема 3. Элементы комбинаторики: Перестановки, Размещения, Сочетания
- •Тема 4. Элементы комбинаторики. Схема выбора с возвращением: Размещения, Сочетания, Перестановки с повторением – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Размещения с повторениями
- •Сочетания с повторениями
- •Перестановки с повторениями
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 4.
- •Лекция 4
- •Семинар 4
- •Домашнее задание 4 - Тема 4.
- •Тема 5. Геометрическое определение вероятности. Субъективная вероятность. Примеры вычисления вероятностей. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Субъективная вероятность
- •Геометрическое определение вероятности
- •Свойства геометрической вероятности
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 5. Тема 5. Геометрическая вероятность
- •Домашнее задание 5 - Тема 5. Геометрическая вероятность
- •Тема 6. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Вероятность суммы событий. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Независимость событий
- •Тема 6. Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 6 Лекция 6
- •Семинар 6 Дополнительное задание
- •Домашнее задание 6 – Тема 6. Формулы вероятности суммы и произведения событий
- •Тема 7. Независимость событий. Условные вероятности. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Условные вероятности
- •Полезный алгоритм
- •Тема 7. Независимость событий. Условная вероятность Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 7 Лекция 7
- •Семинар 7
- •Тема 8. Формула полной вероятности. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Тема 8. Задачи, рассмотренные на Лекции 8
- •Тема 8. - Домашнее задание 8. Формула полной вероятности
- •Тема 9. Формула Байеса (формула гипотез, формула апостериорной вероятности). – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 9
- •Домашнее задание 9. – Тема 9 – Теорема Байеса
- •Тема 10. Схема повторных независимых испытаний с двумя исходами. Схема Бернулли. Теорема и Формула Бернулли. - 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Формула Бернулли
- •Случай нескольких исходов
- •Вероятность появления рассматриваемого события не менее m раз
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 10. Тема 10. Формула Бернулли Лекция 10
- •Семинар 10
- •Домашнее задание 10 – Тема 10. Схема Бернулли
- •Тема 11. Приближенные вычисления в схеме Бернулли. Формулы Пуассона, Муавра – Лапласа. Алгоритмы вычислений. Гауссиана. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Формула Пуассона
- •Алгоритм использования функции Гаусса в приближенных вычислениях
- •Алгоритм использования функции ф(х) в приближенных вычислениях
- •Сокращенная таблица значений функции плотности и интегральной функции ф(х)
- •Задачи, рассмотренные на Лекции.
- •Тема 11. - Формулы Пуассона и Муавра – Лапласа
- •Домашнее задание 11. -Тема 11. Формулы Пуассона и Муавра – Лапласа. Кривая вероятностей (Гауссиана). Закон больших чисел
- •Тема 12. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Свойства биномиальных коэффициентов. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Свойства Сочетаний (биномиальных коэффициентов)
- •Треугольник Паскаля
- •Домашнее задание 12 – Тема 12. Бином Ньютона
- •Дискретная случайная величина
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Математические операции над дискретными случайными величинами
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре. Тема 13
- •Домашнее задание 13 – Тема 13. Случайная величина (св).
- •Тема 14. Числовые характеристики случайной величины. «Меры положения»: среднее арифметическое, среднее геометрическое, мода, медиана. «Меры рассеяния»: дисперсия, эксцесс, асимметрия.
- •«Меры положения»
- •1. Средняя арифметическая величина. Понятие средней арифметической
- •Свойства средней величины
- •2. Мода
- •3. Медиана
- •Вариация массовых явлений. «Меры рассеяния»
- •4. Размах (интервал изменения)
- •5. Математическое ожидание
- •Свойства математического ожидания
- •6. Дисперсия и среднеквадратическое (стандартное) отклонение
- •Алгоритм вычисления дисперсии
- •Свойства дисперсии
- •7. Коэффициент вариации
- •Моменты распределения и показатели его формы. Центральные моменты распределения
- •9. Коэффициент асимметрии
- •10. Коэффициент эксцесса
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 14
- •Домашнее задание 14. Тема 14 – Числовые характеристики случайной величины. Закон распределения св
- •Плотность распределения
- •Сходство и различия между законом распределения и плотностью распределения
- •Свойства плотности вероятности
- •Нормальный закон распределения
- •Свойства кривой вероятностей
- •Понятие о биномиальной случайной величине
- •Раздел II
- •Вопросы для контроля
- •Вопросы к зачету по теории вероятностей и математической статистике
- •Рекомендуемая литература
Домашнее задание 3 – Тема 3. Элементы комбинаторики: Перестановки, Размещения, Сочетания
Задача 1Д-Т3. Владимир хочет пригласить в гости троих из семи своих лучших друзей. Сколькими способами он может выбрать приглашенных?
Задача 2Д-Т3. Из группы в 25 человек нужно выделить на дежурство 3 человека. Сколькими различными способами это можно сделать?
Задача 3Д-Т3. В урне находятся 10 белых, 15 черных и 20 красных шаров. Из урны наудачу берутся 9 шаров. Найти:
а) сколькими различными способами можно вынуть 9 шаров?
б) сколькими различными способами можно вынуть 9 шаров, среди которых 6 белых и 3 черных?
в) сколькими различными способами можно вынуть 9 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 4 красных шара?
Задача 4Д-Т3. Сколько различных вариантов хоккейной команды можно составить из 9 нападающих, 5 защитников и 3 вратарей, если в состав команды должны входить 3 нападающих, 2 защитника и 1 вратарь?
Задача 5Д-Т3. Из коробки, в которой лежат пять пирожных «эклер» и семь — «наполеон», достали пять пирожных. Найти вероятность того, что среди них два «эклера» и три «наполеона».
Задача 6Д-Т3. В коробке находятся 50 деталей, из которых 10 бракованных. Из коробки берут наудачу партию в 5 деталей. Найти вероятность того, что в эту партию попали 3 бракованных.
Задача 7Д-Т3. Из букв разрезной азбуки составлено слово ТРЕУГОЛЬНИК. Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем выбранные четыре буквы собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него получится слово РУЛЬ.
Задача 8Д-Т3. Слово АБРАКАДАБРА разрезается на буквы. Буквы перемешиваются. Одна за другой вытаскиваются 5 букв и прикладываются друг к другу слева направо. Найти вероятности событий:
а) А = {случайно сложится слово РАДАР}.
б) В = {случайно сложится слово БАРКА}.
Задача 9Д-Т3. Из букв разрезной азбуки составлено слово СТАТИСТИКА. Какова вероятность того, что, перемешав буквы и укладывая их в ряд по одной (наудачу), получим слова:
а) ТИСКИ?
б) КИСКА?
в) КИТ?
г) СТАТИСТИКА?
Задача 10Д-Т3. Пять мужчин и 10 женщин случайным образом по трое рассаживаются за 5 столиков. Какова вероятность того, что за каждым столиком окажется мужчина?
Задача 11Д-Т3. Найти вероятность того, что 30 студентов одной группы родились:
а) в разные дни года?
б) в один день года?
в) 8 марта?
г) в разные месяцы года?
д) в сентябре?
е) в разные дни сентября?
Задача 12Д-Т3. Какова вероятность того, что участник лотереи «Спортлото – 6 из 49», купивший один билет, угадает правильно
а) 2 номера?
б) 6 номеров?
Задача 13Д-Т3. В электричке 12 вагонов. Сколько существует способов размещения 4 пассажиров, если в одном вагоне должно быть не более одного пассажира?
Задача 14Д-Т3. Сколькими способами три награды могут быть распределены между 10 участниками соревнований?
Задача 15Д-Т3. Из 4 первокурсников, 5 второкурсников и 6 третьекурсников надо выбрать 3 студента на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов?
Задача 16Д-Т3. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг, чтобы определенные три книги стояли
а) рядом?
б) не рядом?
Задача 17Д-Т3. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за круглым столом? (Рассматривается только расположение относительно друг друга).
Задача 18Д-Т3 (чисто женская задача). В гардеробе у дамы три кофточки, две юбки и двое туфель. Все вещи по стилю и цвету хорошо сочетаются. Сколько различных вариантов наряда можно составить, комбинируя эти вещи?
Задача 19Д-Т3. На полке наудачу располагают 10 книг.
1) Сколько существует различных способов расположения 10 книг?
2) Сколько существует способов расположения 10 книг, при которых две заранее помеченные книги окажутся рядом?
3) Сколько существует способов различных расположений 10 книг, при которых заранее помеченные три книги окажутся рядом?
Задача 20Д-Т3. На трех карточках написаны цифры 1, 2 и 3 (на каждой карточке по одной цифре). Случайным образом из этого набора выбирают последовательно по одной карточке и кладут в ряд, образуя трехзначное число. Какова вероятность того, что образуется число:
а) 321? б) 231?
Задача 21Д-Т3. Четыре одинаковых шара пронумерованы числами 1, 2, 3 , 4 и сложены в ящик. Случайным образом из ящика извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что шары были извлечены в последовательности:
а) 4, 2, 1, 3?
б) 4, 3, 2, 1?
Задача 22Д-Т3. Брошены 3 игральные кости. Какова вероятность того, что:
а) на всех костях выпало по 2 очка?
б) на двух костях выпало по 2 очка, а на третьей – 6 очков?
Задача 23Д-Т3. В ящике находятся 2 белых и 2 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность, что вынуты:
а) 2 белых шара?
б) белый и черный шары?
Задача 24Д-Т3. Из колоды карт в 36 листов наугад вынимают 2 карты. Какова вероятность того, что это: а) Дама треф и Валет пик?
б) две шестерки?
Задача 25Д-Т3. Сколько различных «слов», состоящих из трех букв, можно образовать из букв, составляющих слово «БУРАН»? А если «слова» содержат не менее трех букв?
Задача 26Д-Т3. Сколькими способами группу учащихся из 8 человек можно разделить на две подгруппы, состоящие из трех и пяти человек?