Тема 7. Независимость событий. Условные вероятности. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Условные вероятности

Пусть А и В – два события, рассматриваемых в опыте, при этом наступление одного события (А) может повлиять на возможное наступление другого (В). Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Определение. Условной вероятностью события В при условии, что произошло событие А, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события А, причем ≠ 0. Условная вероятность обозначается

Таким образом, по определению:

Вероятность в отличие от условной вероятности, называется безусловной вероятностью.

Аналогично определяется условная вероятность события А при условии В, т.е.

Теорема 1 (правило умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

Р(А·В) = Р(А) Р(В|A) или Р(А·В) = Р(В) Р(А|B).

Если , то наступление событияА не изменяет вероятности наступления события В. В этом случае говорят, что событие В независимо от события А.

Аналогично, если , то наступление событияВ не изменяет вероятности события А, т.е. событие А является независимым от В.

Лемма о взаимной независимости событий. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Если события А и В не являются независимыми, то в формулах вероятности суммы и произведения используют формулу условной вероятности:

или

Условная вероятность удовлетворяет Аксиомам Колмогорова:

1) и это очевидно;

2)

3) еслиØ, поэтому

Эти формулы для определения вероятности суммы и произведения событий справедливы для любого количества составляющих элементарных событий.

В случае n событий:

Например, в случае трех составляющих:

Полезный алгоритм

1. Уяснить, в чем состоит испытание, рассматриваемое в задаче.

2. Обозначить события, рассматриваемые в задаче.

3. С помощью введенных обозначений выразить искомое событие.

4. Если необходимо найти вероятность суммы событий, то необходимо выяснить, являются ли рассматриваемые события совместными или несовместными.

5. Если необходимо найти вероятность произведения событий, то следует выяснить, являются ли эти события независимыми / зависимыми.

6. Выбрать соответствующие условию задачи формулы и произвести вычисления.

7. Если вероятности рассматриваемых событий не даны в условиях задачи, то их следует предварительно вычислить.

Тема 7. Независимость событий. Условная вероятность Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 7 Лекция 7

Задача 1-Т7. Какова вероятность того, что наугад вынутая из полного набора костяшка домино окажется дублем, если известно, что сумма очков на этой костяшке меньше, чем 5?

Задача 2–Т7. Пусть в группе студентов, состоящей из 20 юношей и 15 девушек, 10 человек занимаются стрелковым спортом. Среди этих стрелков 4 девушки. Наудачу выбирается 1 студент. Пусть стало известно, что он занимается стрелковым спортом. Как после этого изменится вероятность того, что выбранной оказалась девушка?

Задача 3–Т7. Из полного набора костяшек домино дважды наудачу вынимают по одной костяшке, не возвращая их в игру. Найти вероятность появления дубля при втором испытании, если в первый раз был извлечен не дубль.

Задача 4-Т7. В лаборатории 7 женщин и трое мужчин. Случайным образом из числа этих сотрудников для участия в научной конференции выбирается один докладчик и один содокладчик. Какова вероятность того, что докладчиком будет выбрана женщина, а содокладчиком – мужчина?